Задача 65868 ...
Условие
[m]x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = 0[/m]
Я вычислили аналитически и методом касательных, вроде бы сделала правильно, но при интеграции возникли трудности, возможно есть какие-то ошибки?
Решение
Отделяем корни аналитически.
f(-2) = (-2)^3 - 4(-2)^2 - 5(-2) + 2 = -8 - 16 + 10 + 2 = -12 < 0
f(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 - 5(-1) + 2 = -1 - 4 + 5 + 2 = 2 > 0
[b]x1 ∈ (-2; -1)[/b]
f(0) = 2 > 0
f(1) = 1^3 - 4*1^2 - 5*1 + 2 = 1 - 4 - 5 + 2 = -6 < 0
[b]x2 ∈ (0; 1)[/b]
f(2) = 2^3 - 4*2^2 - 5*2 + 2 = 8 - 16 - 10 + 2 = -16 < 0
f(3) = 3^3 - 4*3^2 - 5*3 + 2 = 27 - 36 - 15 + 2 = -22 < 0
f(4) = 4^3 - 4*4^2 - 5*4 + 2 = 64 - 64 - 20 + 2 = -18 < 0
f(5) = 5^3 - 4*5^2 - 5*5 + 2 = 125 - 100 - 25 + 2 = 2 > 0
[b]x3 ∈ (4; 5)[/b]
Всего 3 корня.
Метод касательных.
Сначала вычисляем 1 и 2 производные функции.
f(x) = x^3 - 4x^2 - 5x + 2
f'(x) = 3x^2 - 8x - 5
f''(x) = 6x - 8
Теперь подбираем начальные значения корней.
Должно быть: f(x0)*f''(x0) > 0
Для x1 возьмем -2:
f(-2) = -12 < 0; f''(-2)= 6(-2) - 8 = -12 - 8 = -20 < 0
f(-2)*f''(-2) = -12(-20) = 240 > 0 - подходит.
Для x2 берем 1:
f(1) = -6 < 0; f''(1) = 6*1 - 8 = -2 < 0
f(1)*f''(1) = -6(-2) = 12 > 0 - подходит.
Для x3 берем 5:
f(5) = 2 > 0; f''(5) = 6*5 - 8 = 30 - 8 = 22 > 0
f(5)*f''(5) = 2*22 = 44 > 0 - подходит.
Дальше пользуемся одной формулой:
[m]x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_n)}[/m]
Для x1 получаем:
x0 = -2; f(x0) = -12;
f'(x0) = 3(-2)^2 - 8(-2) - 5 = 12 + 16 - 5 = 23
[m]x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = -2 - \frac{-12}{23} = \frac{-46+12}{23} = -\frac{34}{23} ≈ -1,478[/m]
f(-1,478) ≈ -2,5766; f'(-1,478) ≈ 13,3774
[m]x_{2} = x_{1} - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = -1,478 - \frac{-2,5766}{13,3774} ≈ -1,2854[/m]
f(-1,2854) ≈ -0,3058; f'(-1,2854) ≈ 10,24
[m]x_{3} = x_{2} - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = -1,2854 - \frac{-0,3058}{10,24} ≈ -1,2555[/m]
f(-1,2555) ≈ -0,00664; f'(-1,2555) ≈ 9,77284
[m]x_{4} = x_{3} - \frac{f(x_3)}{f'(x_3)} = -1,2555 - \frac{-0,00664}{9,77284} ≈ -1,25482[/m]
f(-1,25482) ≈ 0,0000011
Точность ε = 0,001 достигнута.
[b]x1 = -1,25482[/b]
Точно также делаются x2 и x3.
Должны получиться результаты:
[b]x2 ≈ 0,3232; x3 ≈ 4,9316[/b]
Метод простых итераций.
Будем искать тот же корень x1 ∈ (-2; -1)
Уравнение:
x^3 - 4x^2 - 5x + 2 = 0
Нужно привести к виду:
x = φ(x), причем так, чтобы для φ(x) было выполнено:
|φ ' (x)| < 1
Варианты:
1) x = 0,2x^3 - 0,8x^2 + 0,4
φ ' (x) = 0,6x^2 - 1,6x
|φ ' (-2)| = |0,6*4 - 1,6(-2)| = 5,6 > 1
|φ ' (-1)| = |0,6*1 - 1,6*(-1)| = 2,2 > 1
Не подходит.
2) x = |0,5sqrt(x^3 - 5x + 2)|
[m]φ'(x)=\frac{0,5(3x^2-5)}{2\sqrt{x^3 - 5x + 2}} = \frac{3x^2-5}{4\sqrt{x^3 - 5x + 2}}[/m]
[m]|φ'(-2)| = |\frac{3*4-5}{4\sqrt{-8 + 10 + 2}}| = \frac{7}{8} < 1[/m]
[m]|φ'(-1)| = |\frac{3*1-5}{4\sqrt{-1 + 5 + 2}}| = |\frac{-2}{4\sqrt{6}}| < 1[/m]
Подходит, берем x0 = -1. Так как x1 < 0, то берем корни с минусом.
Итерация:
x1 = -0,5sqrt(x0^3 - 5x0 + 2) = -0,5sqrt(-1 + 5 + 2) = -0,5sqrt(6) ≈ -1,2247
|x1 - x0| = |-1,2247 - (-1)| = |-0,2247| = 0,2247
x2 = -0,5sqrt(x1^3 - 5x1 + 2) = -0,5sqrt((-1,2247)^3 - 5(-1,2247) + 2) = -1,2536
|x2 - x1| = |-1,2536 - (-1,2247)| = |-0,02895| = 0,02895
x3 = -0,5sqrt(x2^3 - 5x2 + 2) = -0,5sqrt((-1,2536)^3 - 5(-1,2536) + 2) = -1,2548
|x3 - x2| = |-1,2548 - (-1,2536)| = |-0,0012| = 0,0012
x4 = -0,5sqrt(x3^3 - 5x3 + 2) = -0,5sqrt((-1,2548)^3 - 5(-1,2548) + 2) = -1,25482
|x4 - x3| = |-1,25482 - (-1,2548)| = |-0,00002| = 0,00002
Точность ε = 0,001 достигнута.
[b]x1 = -1,25482[/b]
Точно также делаются x2 и x3.
Должны получиться результаты:
[b]x2 ≈ 0,3232; x3 ≈ 4,9316[/b]