Задача 65865 Решить функцию и построить график этой...
Условие
Решение
y`=(x^2)`*e^(-x^3)+(x^2)*(e^(-x^3))`
y`=2x*e^(-x^3)+(x^2)*e^(-x^3)*(-x^3)`
y`=e^(-x^3)*(2x+x^2*(-3x^2))
y`=e^(-x^3)*(2x-3x^4)
[b]y`=e^(-x^3)*x*(2-3x^3)[/b]
так как e^(-x^3) > 0 при любом х, то y`=0
при х=0 или при (2-3x^3=0)? откуда x=∛2/3
х=0 - точка минимума, так как производная меняет знак с - на +
x=∛(2/3) - точка максимума, так как производная меняет знак с + на -
y(0)=(0^2)e^(-0^3)=0*1=0
y(∛(2/3) )=((∛(2/3) ^2)*e^(-(∛(2/3)) ^3)=(∛(4/9)*e^(-2/3) ≈
y``=(e^(-x^3)*(2x-3x^4))`
y``=(e^(-x^3))`*(2x-3x^4)+e^(-x^3)*(2x-3x^4)`
y``=e^(-x^3)*(-x^3)`*(2x-3x^4)+e^(-x^3)*(2-12x^3)
y``=e^(-x^3)*(-3x^2*(2x-3x^4)+2-12x^3))
[b]y``=e^(-x^3)*(-18x^3+9x^6+2)[/b]
y``=0
9x^6-18x^3+2=0 - квадратное уравнение относительно x^3
D=18^2-4*9*2=324-72=252
x^3=(18-sqrt(252))/18 или x^3=(18+sqrt(252))/18
x_(1)=∛(18-sqrt(252))/18 < 1 - точка перегиба, вторая производная меняет знак с + на -
x_(2)=∛(18+sqrt(252))/18 > 1-точка перегиба, вторая производная меняет знак с - на +
Обозначены на рисунке зеленым цветом
на (- ∞ ;x_(1)) и (x_(2);+ ∞) кривая выпукла вниз, на (x_(1);x_(2))- кривая выпукла вверх