Задача 65831 ...
Условие
b = (3, -8, -3).
4. Объем тетраэдра равен 5, три его вершины находятся в точках A(2,3,-1), B(3,2,1), C(2,1,3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.
Решение
Пусть координаты вектора vector{x}=(x_(1);x_(2);x_(3))
Тогда
скалярное произведение
vector{x}*vector{a}=4*x_(1)-1*x_(2)+2*x_(3)
vector{x}*vector{b}=3*x_(1)-8*x_(2)-3*x_(3)
По условию
vector{x}*vector{a}=21 ⇒ [b]4*x_(1)-1*x_(2)+2*x_(3)=21[/b]
vector{x}*vector{b}=14 ⇒ [b]3*x_(1)-8*x_(2)-3*x_(3)=14[/b]
Длина вектора |vector{x}|=sqrt{(x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3))
По условию
|vector{x}|=sqrt(21) ⇒ sqrt{(x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3))=sqrt(21) ⇒
[b]x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3)=21[/b]
Решаем систему
{[b]4*x_(1)-1*x_(2)+2*x_(3)=21[/b] умножаем на 3
{ [b]3*x_(1)-8*x_(2)-3*x_(3)=14[/b] умножаем на 2 и складываем эти два уравнения, любое из них оставляем, например первое
{[b]x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3)=21[/b]
{[b]4*x_(1)-1*x_(2)+2*x_(3)=21[/b] выражаем x_(3)=(21-4x_(1)+x_(2))/2 и подставляем в третье
{ [b]18*x_(1)-19*x_(2)-3*x_(3)=91[/b]
{[b]x^2_(1)+x^2_(2)+x^2_(3)=21[/b]
Получим систему двух уравнений с двумя переменными
{ [b]18*x_(1)-19*x_(2)-(3/2)*(21-4x_(1)+x_(2))=91[/b]
{[b]x^2_(1)+x^2_(2)+(21-4x_(1)+x_(2))^2/4=21[/b]
находим х_(1); x_(2)
и затем по найденным х_(1) и x_(2)
находим x_(3)=(21-4x_(1)+x_(2))/2
4.
D(0:y;0)
vector{AB}=(3-2;2-3;1-(-1))=(1;-1;2)
vector{AC}=(2-2;1-3;3-(-1))=(0;-2;4)
vector{AD}=(0-2;y-3;0-(-1))=(-2;y-3;1)
Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов( vector{AB},vector{AС},vector{AD}) ( см. формулу в скрине)
А смешанное произведение трех векторов равно определителю третьего порядка составленного из координат этих векторов.
[m]\frac{1}{6}\begin {vmatrix} 1&-1&2\\0&-2&4\\-2&y-3&1\end {vmatrix}=5[/m]
Раскрываем определитель:
-2+8+0-8-4(y-1) -0=30
решаем уравнение
-4(y-1)=32
y-1=-8
и получаем ответ
y=-7