Задача 65660 3.001. [m]\( \left( 1 + \frac{1}{\cos...
Условие
[m]\( \left( 1 + \frac{1}{\cos 2\alpha} + tg 2\alpha \right) \left( 1 - \frac{1}{\cos 2\alpha} + tg 2\alpha \right) = 2 tg 2\alpha. \)[/m]
Решение
Известно, что tg(2a) = sin(2a)/cos(2a), а 1 = cos(2a)/cos(2a). Приводим всё к общему знаменателю:
[m]\frac{cos(2a)+1+sin(2a)}{cos(2a)}\frac{cos(2a)-1+sin(2a)}{cos(2a)}=\frac{(cos(2a)+sin(2a)+1)(cos(2a)+sin(2a)-1)}{cos^2(2a)}[/m]
Числитель - это произведение суммы выражений на их разность, то есть разность квадратов:
(cos(2a) + sin(2a) + 1)(cos(2a) + sin(2a) - 1) = (cos(2a) + sin(2a))^2 - 1^2 =
= cos^2(2a) + 2sin(2a)*cos(2a) + sin^2(2a) - 1 = 1 + 2sin(2a)*cos(2a) - 1 = 2sin(2a)*cos(2a)
Возвращаемся к нашей дроби:
[m]\frac{2sin(2a)*cos(2a)}{cos^2(2a)} = \frac{2sin(2a)}{cos(2a)} = 2tg(2a)[/m]