Задача 65387 Прямая y=2x+6 является касательной к...
Условие
Решение
Касательная: f(x) = 2x + 6
Найти абсциссу точки касания.
Решение.
Уравнение касательной в точке x0 в общем виде:
f(x) = y(x0) + y'(x0)·(x – x0)
y(x0) = x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6
y'(x) = 3x^2 + 2x + 2
y'(x0) = 3x0^2 + 2x0 + 2
Подставляем в уравнение касательной:
f(x) = x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6 + (3x0^2 + 2x0 + 2)·(x – x0)
f(x) = (3x0^2 + 2x0 + 2)·x + (x0^3 + x0^2 + 2x0 + 6 – 3x0^3 - 2x0^2 - 2x0)
f(x) = (3x0^2 + 2x0 + 2)·x + (–2x0^3 - x0^2 + 6)
По условию f(x) = 2x + 6. Приравниваем коэффициенты:
{ 3x0^2 + 2x0 + 2 = 2 (коэффициент при x)
{ –2x0^3 - x0^2 + 6 = 6 (свободный член)
Нетрудно догадаться, что x0 = 0
Ответ: 0