Задача 65313 Лыжник съехал с горы длиной 40метров за...
Условие
Решение
После чего он проехал по горизонтальной площадке до остановки 20 метров.
Считая движение лыжника на обоих участках равномерным, определить скорость лыжника в конце горы?
Среднюю скорость на всём пути, ускорение на каждом из участков, время движения по горизонтальной площадке, начертить графики зависимости пути, скорости, и ускорения лыжника от времени.
Решение:
Если считать движение на обоих участках [b]равномерным[/b], то ускорение равно 0, а скорость в конце горы равна:
v = s_1/t_1 = 40/10 = 4 м/с.
И неважно, сколько он потом проехал до остановки.
А вот если считать движение с горы [b]равноускоренным[/b] с ускорением a_1, а с горы [b]равнозамедленным[/b] с ускорением -a_2, тогда картина совсем другая!
Начальная скорость v0_1 = 0.
За t_1 = 10 с пройден путь s_1 = 40 м.
Уравнение движения с горы, на первом участке пути:
s_1(t) = a_1*t^2/2 + v0_1*t
40 = a_1*t_1^2/2 + v0_1*t_1 = a_1*100/2 + 0*10 = 50a_1
40 = 50a_1
Ускорение на первом участке:
[b]a_1 = 40/50 = 4/5 = 0,8 м/с^2[/b]
Скорость есть производная от пути:
v_1(t) = (a_1*t^2/2 + v0_1*t)' = a_1*2t/2 + v0_1 = a_1*t
Скорость в конце горы:
[b]v_1(t_1) = v_1(10) = 0,8*10 = 8 м/с[/b]
Теперь разберемся со вторым участком пути.
Начальная скорость равна скорости в конце горы:
v0_2 = v_1(10) = 8 м/с
Конечная скорость - это остановка.
v_2(t_2) = 0.
Уравнение движения на втором участке пути:
s_2(t) = -a_2*t^2/2 + v0_2*t
20 = -a_2*t_2^2/2 + 8t_2 (1)
Скорость на втором участке пути:
v_2(t) = -a_2*t + v0_2
Скорость в конце пути:
0 = -a_2*t_2 + 8
a_2*t_2 = 8 (2)
Подставляем уравнение (2) в уравнение (1):
20 = -(a_2*t_2)*t_2/2 + 8t_2 = -8t_2/2 + 8t_2 = 4t_2
Время движения на втором участке пути:
[b]t_2 = 20/4 = 5 с[/b]
Ускорение на втором участке:
[b]-a_2 = -8/t_2 = -8/5 = -1,6 м/с^2[/b]
Чтобы найти среднюю скорость на всем пути, нужно весь пройденный путь s = s_1 + s_2 = 40 + 20 = 60 м разделить на всё потраченное время t = t_1 + t_2 = 10 + 5 = 15 с.
Средняя скорость:
[b]v = s/t = 60/15 = 4 м/с[/b]
Итак, Ответы по порядку вопросов:
Скорость лыжника в конце горы?
[b]v_1(t_1) = 8 м/с[/b]
Среднюю скорость на всём пути?
[b]v = 4 м/с[/b]
Ускорение на каждом из участков?
[b]a_1 = 0,8 м/с^2[/b]
[b]-a_2 = -1,6 м/с^2[/b]
Время движения по горизонтальной площадке?
[b]t_2 = 5 с[/b]
Графики сами чертите, у меня нет возможности.