Задача 65287 Найти экстремумы y = lnx/x...
Условие
Решение
Во-первых, найдем область определения:
x > 0
Экстремум - это точка, в которой производная равна 0.
[m]y' = \frac{(ln x)'*x - ln x*x'}{x^2} = \frac{1/x*x - ln x*1}{x^2} = \frac{1 - ln x}{x^2} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то числитель равен 0, а знаменатель нет.
1 - ln x = 0
ln x = 1
x = e
y(e) = ln e / e = 1/e
Критическая точка: M(e; 1/e)
При x ∈ (0; e), например, при x = 1, будет:
[m]y'(1) = \frac{1 - ln 1}{1^2} = \frac{1 - 0}{1} = 1 > 0[/m]
Значит, при x ∈ (0; e) функция возрастает.
При x > e, например, при x = e^2, будет:
[m]y'(e^2) = \frac{1 - ln e^2}{e^4} = \frac{1 - 2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0[/m]
Значит, при x ∈ (0; e) функция убывает.
Это означает, что M(e; 1/e) - точка максимума.
Все решения
На рисунке экстремум в нуле, а производная в нуле не существует