Задача 65285 Вычислить предел lim (x->0)...
Условие
Решение
Это неопределенность вида 0^0.
Воспользуемся известным равенством:
z = e^(ln z)
[m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} (sin(x))^{sin(x)} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{ln (sin(x))^{sin(x)}} = \lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{sin(x)*ln(sin(x))} =[/m]
[m]= e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} sin(x)*ln(sin(x))} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{ln(sin(x))}{1/sin(x)}} [/m]
Это уже неопределенность вида oo/oo.
Решаем по правилу Лопиталя:
[m]e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1/sin(x)*cos(x)}{-1/sin^2(x)*cos(x)}} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1/sin(x)}{-1/sin^2(x)}} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{sin^2(x)}{-sin(x)}} = e^{\lim \limits_{x \rightarrow 0} (-sin(x))} = e^{-0} = 1[/m]
Ответ: [m]\lim \limits_{x \rightarrow 0} (sin(x))^{sin(x)} = 1[/m]