Задача 65275 ...
Условие
Решение
Выполним преобразования в числителе:
[m]1-cosx=2sin^2\frac{x}{2}[/m]
и в знаменателе
[m]x-sinx=x[/m](1-[m]\frac{sinx}{x}[/m])
Тогда
[m]lim_{x → 0}\frac{1-cosx}{x-sinx}=lim_{x → 0}\frac{2sin^2\frac{x}{2}}{x(1-\frac{sinx}{x})}=lim_{x → 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot lim_{x → 0}\frac{sin\frac{x}{2}}{1-\frac{sinx}{x}}=1\cdot lim_{x → 0} \frac{sin\frac{x}{2}}{1-\frac{sinx}{x}}=[/m]
Неопределенность (0/0)
⇒ либо применяем разложение по формуле Тейлора для sinx
Либо
применяем правило Лопиталя к первоначальному пределу:
[m]lim_{x → 0}\frac{1-cosx}{x-sinx}=lim_{x → 0}\frac{(1-cosx)`}{(x-sinx)`}=lim_{x → 0}\frac{sinx}{1-cosx}=[/m]
неопределенность (0/0)
Применяем правило Лопиталя еще раз
[m]lim_{x → 0}\frac{(sinx)`}{(1-cosx)`}=lim_{x → 0}\frac{-cosx}{sinx}= ∞ [/m]
