Задача 65201 ...

62b3fe427758f345bafcc1b2

23.06.2022 08:48:52

Решите систему неравенств [m]\left\{\begin {matrix}\frac{3\cdot 64^{x}+2^{x}-70}{64^{x}-2} ≥ 0\\log^2_{3}(x^2-7)−3log_{3}(x+3)+2 ≤ 0\end {matrix}\right.[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.06.2022 14:30:42

★

[m]\left\{\begin {matrix}\frac{3\cdot 64^{x}+2^{x}-70}{64^{x}-2} ≥ 0\\log^2_{3}(x^2-7)−3log_{3}(x+3)+2 ≤ 0\end {matrix}\right.[/m]

[red]ОДЗ:[/red]
[m]\left\{\begin {matrix}64^{x}-2 ≠ 0\\x^2-7>0\\x+3> 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}2^{6x} ≠ 2\\(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})>0\\x>-3\end {matrix}\right.[/m]


_______ (-3) \\\\\\\\\ (-sqrt(7)) ________ (1/6) ________ (sqrt(7)) ///////////

[red]ОДЗ:[/red] x ∈ (-3; -sqrt(7)) U ( sqrt(7); + ∞ )

Решаем первое неравенство системы методом интервалов.

Находим нуль числителя:

[m]3\cdot 64^{x}+2^{x}-70 = 0[/m]

[m]3\cdot 64^{x}+2^{x} = 70[/m]

Строим график функции [m]y=3\cdot 64^{x}+2^{x} - возрастающая функция

[m]y=70[/m] - прямая, параллельная оси Ох

Одна точка пересечения x ≈ 0,8

Находим нуль знаменателя:

[m]64^{x}-2=0[/m]

[m]x=\frac{1}{6}[/m]

__+____ ([m]x=\frac{1}{6}[/m] ) ___-___ [0,8] ___+____


с учетом ОДЗ получаем ответ x ∈ (-3; -sqrt(7)) U ( sqrt(7); + ∞ )

Неравенство верно при любом х из ОДЗ

Второе неравенство также решаем графически:

[m]log^2_{3}(x^2-7)−3log_{3}(x+3)+2 ≤ 0[/m]

[m]log^2_{3}(x^2-7)+2 ≤ 3log_{3}(x+3)[/m]

[m] y=log^2_{3}(x^2-7)+2[/m] выше прямой y=2

[m]y=3log_{3}(x+3)[/m]

Неравенство верно на [a;b]

b> a> sqrt(7)

см. рис.


О т в е т системы: [a;b]

626fab9a354ab65fb2f43abb

23.06.2022 12:02:20

С какой олимпиады вы притащили этот ужас?
Помогу, чем сумею.
[m]\frac{3*64^{x} + 2^{x} - 70}{64^{x} - 2} ≥ 0[/m]
[m]log_3^2(x^2 - 7) - 3log_3(x+3) + 2 ≥ 0[/m]
Во-первых, у 2 неравенства надо найти ОДЗ.
{ x^2 - 7 > 0
{ x + 3 > 0
x ∈ (-3; -sqrt(7)) U (sqrt(7); +oo)
Заметим, что при x < 0 первое неравенство верно всегда.
Если подставить x = -3 в первое неравенство, получим:
[m]\frac{3*64^{-3} + 2^{-3} - 70}{64^{-3} - 2} = \frac{3/64^3 + 1/2^3 - 70}{1/64^3 - 2}[/m]
Числитель и знаменатель явно < 0, поэтому дробь > 0.
Вместо -sqrt(7) возьмем чуть большее число -2,5:
[m]\frac{3*64^{-2,5} + 2^{-2,5} - 70}{64^{-2,5} - 2} = \frac{3/\sqrt{64^5} + 1/\sqrt{2^5} - 70}{1/\sqrt{64^5} - 2}[/m]
Числитель и знаменатель явно < 0, поэтому дробь > 0.
Так что на всем отрезке (-3; -sqrt(7)) 1 неравенство верно.
Вместо sqrt(7) возьмем чуть меньшее число 2,5:
[m]\frac{3*64^{2,5} + 2^{2,5} - 70}{64^{2,5} - 2} = \frac{3*\sqrt{64^5} + \sqrt{2^5} - 70}{\sqrt{64^5} - 2}[/m]
Числитель и знаменатель явно > 0, поэтому дробь > 0.
При увеличении x значение дроби возрастает.
Таким образом, мы получили:
1) На промежутке (-3; -sqrt(7)) 1 неравенство верно.
2) На промежутке (sqrt(7); +oo) 1 неравенство верно.
То есть на всем ОДЗ 1 неравенство верно.
Теперь остается решить 2 неравенство.
[m]log_3^2(x^2 - 7) - 3log_3(x+3) + 2 ≥ 0[/m]
Я не знаю, как его решать, но Вольфрам Альфа показал:
[b]x ∈ (-3; -sqrt(7)) U (sqrt(7); 2,67623] U [3,76598; +oo)[/b]
Это и есть Ответ.