Задача 65089 решите уравнение [m]8sinx\cdot...
Условие
Решение
Так как
sin2x=2sinxcosx
[m]4sin2x=5cos2x[/m]- это однородное тригонометрическое уравнение первой степени.
Делим на cos2x ≠ 0
[m]tg2x=\frac{5}{4}[/m]
[m]2x=arctg \frac{5}{4}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]
[m]x=\frac{1}{2}arctg \frac{5}{4}+\frac{π}{2}n, n ∈ [/m][b]Z[/b]
второй способ
[m]8sinx\cdot cosx=5cos2x[/m]
Так как cos2x=cos^2x-sin^2x
[m]8sinx\cdot cosx=5cos^2x-5 sin^2x[/m]
получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени.
Делим на cos^2x ≠ 0
[m]8tgx =5-5 tg^2x[/m]
[m]5t^2+8t-5=0[/m]
D=64+100=164
[m]t_{1}=\frac{-8-\sqrt{164}}{10}[/m] или [m]t_{2}=\frac{-8+\sqrt{164}}{10}[/m]
Обратный переход:
[m]tgx=\frac{-8-\sqrt{164}}{10}[/m] или [m]tgx=\frac{-8+\sqrt{164}}{10}[/m]
[m]x=arctg (\frac{-8-\sqrt{164}}{10})++πn, n ∈ [/m][b]Z[/b] или [m]x=arctg \frac{-8+\sqrt{164}}{10}+πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]