Задача 65087 { x^(3)+y^(3)=19 { (xy+8)(x+y)=2...

Mia

14 июня 2022 г. в 15:58

{ x³+y³=19
{ (xy+8)(x+y)=2

exponenta

14 июня 2022 г. в 16:37

★

$\left\{\begin {matrix}x^3+y^3=19\\(xy+8)(x+y)=2\end {matrix}\right.$

x³+y³=(x+y)³–3xy(x+y)


$\left\{\begin {matrix}(x+y)^3-3xy(x+y)=19\\(xy+8)(x+y)=2\end {matrix}\right.$


Замена переменной:

$\left\{\begin {matrix}x+y=u\\xy=v\end {matrix}\right.$


$\left\{\begin {matrix}u^3-3vu=19\\(v+8)\cdot u=2\end {matrix}\right.$




Решаем способом подстановки:

$\left\{\begin {matrix}u^3-3u\cdot (\frac{2}{u}-8)=19\\ v=\frac{2}{u}-8\end {matrix}\right.$


Решаем первое уравнение.

$u^3-6+24u=19$


$u^3+24u-25=0$


u=1 корень уравнения, так как


1+24–25=0 – верно

Раскладываем на множители:

$(u-1)(u^2+u+25)=0$


Квадратное уравнение не имеет корней, т.к D <0



Значит, система имеет единственное решение:

$\left\{\begin {matrix}u=1\\ v=\frac{2}{1}-8\end {matrix}\right.$

Обратный переход:

$\left\{\begin {matrix}x+y=1\\xy=-6\end {matrix}\right.$

⇒ по теореме Виета
сумма корней 1, произведение –6

Значит х и у являются корнями квадратного уравнения
t²–t–6=0 ⇒

t=–2 или t=3


$\left\{\begin {matrix}x=-2\\y=3\end {matrix}\right.$ или $\left\{\begin {matrix}x=3\\y=-2\end {matrix}\right.$


О т в е т. (–2;3);(3;–2)