(xy+8)(x+y)=2
x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)
[m]\left\{\begin {matrix}(x+y)^3-3xy(x+y)=19\\(xy+8)(x+y)=2\end {matrix}\right.[/m]
Замена переменной:
[m]\left\{\begin {matrix}x+y=u\\xy=v\end {matrix}\right.[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}u^3-3vu=19\\(v+8)\cdot u=2\end {matrix}\right.[/m]
Решаем способом подстановки:
[m]\left\{\begin {matrix}u^3-3u\cdot (\frac{2}{u}-8)=19\\ v=\frac{2}{u}-8\end {matrix}\right.[/m]
Решаем первое уравнение.
[m]u^3-6+24u=19[/m]
[m]u^3+24u-25=0[/m]
u=1 корень уравнения, так как
1+24-25=0 - верно
Раскладываем на множители:
[m](u-1)(u^2+u+25)=0[/m]
Квадратное уравнение не имеет корней, т.к D <0
Значит, система имеет единственное решение:
[m]\left\{\begin {matrix}u=1\\ v=\frac{2}{1}-8\end {matrix}\right.[/m]
Обратный переход:
[m]\left\{\begin {matrix}x+y=1\\xy=-6\end {matrix}\right.[/m]
⇒ по теореме Виета
сумма корней 1, произведение -6
Значит х и у являются корнями квадратного уравнения
t^2-t-6=0 ⇒
t=-2 или t=3
[m]\left\{\begin {matrix}x=-2\\y=3\end {matrix}\right.[/m] или [m]\left\{\begin {matrix}x=3\\y=-2\end {matrix}\right.[/m]
О т в е т. (-2;3);(3;-2)