Задача 65033 ...

Гадкий Я

10 июня 2022 г. в 12:40

Вычислите пример [m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx[/m]

Удачник66

10 июня 2022 г. в 12:50

★

[m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx[/m]
Выделяем квадрат в знаменателе:
x² + x + 2 = x² + 2·x·1/2 + (1/2)² – (1/2)² + 2 =
= (x + 1/2)² + 7/4
Самое главное – выражение под корнем не раскладывается на множители.
Интеграл раскладываем на сумму:
[m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx = 3∫\frac{x}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx + 2∫\frac{1}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx [/m]
Это два табличных интеграла:
[m]3∫\frac{x}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx + 2∫\frac{1}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx =[/m]
[m]= 3\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4} + 2ln(x + \sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}) + C[/m]

= 3√x² + x + 2 + 2ln(x + √x² + x + 2) + C