Задача 65033 ...

60b77ffca1c50e1d3043a110

10.06.2022 12:40:12

Вычислите пример [m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx[/m]

626fab9a354ab65fb2f43abb

10.06.2022 12:50:59

★

[m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx[/m]
Выделяем квадрат в знаменателе:
x^2 + x + 2 = x^2 + 2*x*1/2 + (1/2)^2 - (1/2)^2 + 2 =
= (x + 1/2)^2 + 7/4
Самое главное - выражение под корнем не раскладывается на множители.
Интеграл раскладываем на сумму:
[m]∫\frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+2}} dx = 3∫\frac{x}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx + 2∫\frac{1}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx [/m]
Это два табличных интеграла:
[m]3∫\frac{x}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx + 2∫\frac{1}{\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}} dx =[/m]
[m]= 3\sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4} + 2ln(x + \sqrt{(x + 1/2)^2 + 7/4}) + C[/m]

= 3sqrt(x^2 + x + 2) + 2ln(x + sqrt(x^2 + x + 2)) + C