Задача 64956 ...
Условие
Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции = 5x^2 - xy + y^2 - 4x в ограниченной замкнутой области, определенной тождеством: x = -1, y = -1, x + y + 1 = 0.
Решение
Необходимое условие экстремума:
Все производные 1 порядка должны быть равны 0.
{ dz/dx = 3x^2 - 3 = 0
{ dz/dy = 2y + 4*5/2y^(3/2) = 2y + 10ysqrt(y) = 0
Сокращаем:
{ x^2 - 1 = (x+1)(x-1) = 0
{ y(1 + 5sqrt(y)) = 0
Заметим, что корень sqrt(y) - арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому 1 + 5sqrt(y) > 0 при любом y ≥ 0.
Поэтому:
{ x1 = -1; x2 = 1
{ y = 0
Получаем две точки:
M1(-1; 0); z(M1) = -1 + 0 + 3 + 0 = 2
M2(1; 0); z(M2) = 1 + 0 - 3 + 0 = -2
Проверим, какие это точки - максимум или минимум.
Производные 2 порядка:
A = d^2z/dx^2 = 6x
A(M1) = 6(-1) = -6 < 0
A(M2) = 6*1 = 6 > 0
B = d^2z/(dxdy) = 0
C = d^2z/dy^2 = 2 + 10sqrt(y) + 10y/(2sqrt(y)) = 2 + 10sqrt(y) + 5sqrt(y) = 2 + 15sqrt(y) = 2 + 0 = 2
D = A*C - B^2
D(M1) = (-6)*2 - 0 = -12 < 0
D(M2) = 6*2 - 0 = 12 > 0
Достаточное условие экстремума:
Если D > 0 и A > 0 - это точка минимума.
Если D > 0 и A < 0 - это точка максимума.
Если D < 0 - это вообще не экстремум, а седловая точка.
Если D = 0, тогда непонятно, нужно искать другими методами.
В нашем случае:
M1: D < 0 - это седловая точка.
M2: D > 0; A > 0 - это точка минимума.
11) z = 5x^2 - xy + y^2 - 4x
Замкнутая ограниченная область: x = -1; y = -1; x + y - 1 = 0
Найдем сначала точки пересечения границ области:
1) M1(-1; -1); z(-1; -1) = 5*1 - (-1)(-1) + 1 - 4(-1) = 5 - 1 + 1 + 4 = 9
2) x = -1; -1 + y - 1 = 0; y = 2
M2(-1; 2); z(-1; 2) = 5*1 - (-1)*2 + 4 - 4(-1) = 5 + 2 + 4 + 4 = 15
3) y = -1; x - 1 - 1 = 0; x = 2
M3(2; -1); z(2; -1) = 5*4 - 2(-1) + 1 - 4*2 = 20 + 2 + 1 - 8 = 15
Получили три точки: M1(-1; -1; 9); M2(-1; 2; 15); M3(2; -1; 15)
Теперь находим экстремумы внутри области:
Производные 1 порядка приравниваем к 0:
{ dz/dx = 10x - y - 4 = 0
{ dz/dy = -x + 2y = 0
Решаем подстановкой:
{ x = 2y
{ 10*2y - y - 4 = 0
Решаем:
{ y = 4/19
{ x = 8/19
z(8/19; 4/19) = 5*64/361 - 8*4/361 + 16/361 - 4*8/19 =
= (320 - 32 + 16)/361 - 32/19 = 304/361 - 32/19 = 16/19 - 32/19 = -16/19
Получили точку M0(8/19; 4/19; -16/19)
Наименьшее значение: -16/19 в точке M0.
Наибольшее значение: 15 в точках M2 и M3.