Задача 64908 ...

Vel76

1 июня 2022 г. в 16:07

найти интеграл [m]∫\frac{x-7}{\sqrt{14x+x^2}}dx [/m]

exponenta

1 июня 2022 г. в 19:23

★

Выделяем полный квадрат

14х+x²=x²+2·7x+49–49=(x²+2·7x+49)–49=(x+7)²–49

[m]∫\frac{x-7}{\sqrt{14x+x^2}}dx= ∫ \frac{x-7}{\sqrt{(x+7)^2-49}}dx [/m]

Замена переменной:

[m]x+7=t[/m] ⇒ [m]x=t-7[/m]

[m]dx=(t-7)`dt[/m]

[m]dx=dt[/m]

[m] ∫ \frac{x-7}{\sqrt{(x+7)^2-49}}dx=∫ \frac{t-7-7}{\sqrt{t^2-49}}dt [/m]

Раскладываем на сумму интегралов

[m]=∫ \frac{t}{\sqrt{t^2-49}}dt-∫ \frac{14}{\sqrt{t^2-49}}dt [/m]

Два табличных интеграла

первый

[m]∫ \frac{1}{\sqrt{u}}du=2\sqrt{u}[/m]

[m]u=t^2-49[/m] ⇒[m] du=2tdt[/m] ⇒ [m]tdt=\frac{1}{2}du[/m]

[m]=\frac{1}{2}∫ \frac{}{\sqrt{u}}du=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{u}=\sqrt{u}=\sqrt{t^2-49}[/m]

второй

[m]∫ \frac{1}{\sqrt{t^2-49}}dt =ln|t+\sqrt{t^2-49}|[/m]