Задача 64858 Найти частное решение дифференциального...

6291d60ff5156b29d0d0edd0

28.05.2022 11:06:30

Найти частное решение дифференциального уравнения y'' + 2y' - y = x, удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y'(0) = 0.

626fab9a354ab65fb2f43abb

28.05.2022 11:52:51

★

y'' + 2y' - y = x
y(0) = 0; y'(0) = 0
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка.
Сначала решаем однородное уравнение:
y'' + 2y' - y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 + 2k - 1 = 0
D = 2^2 - 4(-1) = 8 = (2sqrt(2))^2
k1 = (-2 - 2sqrt(2))/2 = -1 - sqrt(2)
k2 = (-2 + 2sqrt(2))/2 = -1 + sqrt(2)
y0 = C1*e^((-1-sqrt(2))*x) + C2*e^((-1+sqrt(2))*x)
Находим частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = Ax + B
[m]y*'[/m] = A
[m]y*''[/m] = 0
Подставляем в исходное уравнение:
0 + 2A - (Ax + B) = x
-Ax + (2A - B) = x
Составляем систему по степеням x:
{ -A = 1
{ 2A - B = 0
Получаем:
{ A = -1
{ B = -2
Частное решение неоднородного уравнения:
[m]y*[/m] = Ax + B = -x - 2
Полное решение уравнения:
y = y0 + [m]y*[/m] = C1*e^((-1-sqrt(2))*x) + C2*e^((-1+sqrt(2))*x) - x - 2
y' = C1(-1-sqrt(2))*e^((-1-sqrt(2))*x) + C2(-1+sqrt(2))*e^((-1+sqrt(2))*x) - 1
Теперь решаем задачу Коши при начальных условиях:
y(0) = 0; y'(0) = 0
y(0) = C1*e^((-1-sqrt(2))*0) + C2*e^((-1+sqrt(2))*0) - 0 - 2
y'(0) = C1(-1-sqrt(2))*e^((-1-sqrt(2))*0) + C2(-1+sqrt(2))*e^((-1+sqrt(2))*0) - 1
Упрощаем:
{ y(0) = C1*e^0 + C2*e^0 - 2 = 0
{ y'(0) = C1(-1-sqrt(2))*e^0 + C2(-1+sqrt(2))*e^0 - 1 = 0
Получаем систему:
{ С1 + С2 - 2 = 0
{ -C1 - C1*sqrt(2) - C2 + C2*sqrt(2) - 1 = 0
Решаем:
{ C1 + C2 = 2
{ -(C1 + C2) + sqrt(2)(C2 - C1) = 1
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение:
{ C2 = 2 - С1
{ -2 + sqrt(2)(2 - С1 - C1) = 1
Получаем:
sqrt(2)(2 - 2C1) = 3
2 - 2C1 = 3/sqrt(2) = 3sqrt(2)/2
C1 = (2 - 3sqrt(2)/2)/2 = 1 - 3sqrt(2)/4
C2 = 2 - C1 = 2 - 1 + 3sqrt(2)/4 = 1 + 3sqrt(2)/4
Полное решение с начальными условиями:
y = (1-3sqrt(2)/4)*e^((-1-sqrt(2))*x) + (1+3sqrt(2)/4)*e^((-1+sqrt(2))*x) - x - 2