15. y' = x^2 + 3y, y(0) = 1, x ∈ [0,1]
y' - 3y = x^2
Линейное неоднородное уравнение 1 порядка.
Решается заменой:
y = z*t; y' = z'*t + z*t'
z'*t + z*t' - 3z*t = x^2
Выносим z за скобки:
z'*t + z(t' - 3t) = x^2
Скобку приравниваем к 0:
t' - 3t = 0
dt/dx = 3t
dt/t = 3dx
ln t = 3x
t = e^(3x)
Подставляем в уравнение:
z'*e^(3x) + z*0 = x^2
dz/dx = x^2*e^(-3x)
dz = x^2*e^(-3x) dx
Интегрируем по частям:
∫ u dv = u*v - ∫ v du
u = x^2; dv = e^(-3x) dx; du = 2x dx; v = -1/3*e^(-3x)
z = -1/3*x^2*e^(-3x) - ∫ (-1/3*e^(-3x)*2x) dx = -1/3*x^2*e^(-3x) + 2/3*∫ x*e^(-3x) dx
Снова решаем по частям второй интеграл:
u = x; dv = e^(-3x) dx; du = dx; v = -1/3*e^(-3x)
z = -1/3*x^2*e^(-3x) + 2/3*(-1/3*x*e^(-3x) - ∫ (-1/3*e^(-3x)) dx) =
= -1/3*x^2*e^(-3x) - 2/9*x*e^(-3x) - 2/3*(-1/3)(-1/3)*e^(-3x) + C =
= -1/3*x^2*e^(-3x) - 2/9*x*e^(-3x) - 2/27*e^(-3x) + C =
= -e^(-3x)*(1/3*x^2 + 2/9*x + 2/27) + C
Возвращаемся к функции y(x)
y(x) = z*t = [-e^(-3x)*(1/3*x^2 + 2/9*x + 2/27) + C]*e^(3x)
y(x) = -(1/3*x^2 + 2/9*x + 2/27) + C*e^(3x) - это общее решение.
Теперь решаем задачу Коши:
y(0) = 1
-(1/3*0^2 + 2/9*0 + 2/27) + C*e^(3*0) = 1
-2/27 + C = 1
C = 1 2/27 = 29/27
y(x) = -(1/3*x^2 + 2/9*x + 2/27) + 29/27*e^(3x)