Задача 64632 3 вариант...
Условие
Решение
По определению:
[m]F(X)=∫ ^{x }_{- ∞ } f(t)dt[/m]
При [m] x ≤2-\sqrt{2}[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dt=0[/m]
При [m] 2-\sqrt{2} < x ≤ 1[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(t)dt=∫ ^{2-\sqrt{2}}_{- ∞ } 0 dt+∫ ^{x}_{2-\sqrt{2}}(-3t^2+8t-2)dt=[/m]
[m]=(-3\frac{t^3}{3}+4t^2-2t)^{x}_{2-\sqrt{2}}|=-x^3+4x^2-2x-((2-\sqrt{2})^3+4\cdot (2-\sqrt{2})^2-2\cdot (2-\sqrt{2})=-x^3+4x^2-2x-0=-x^3+4x^2-2x[/m]
При [m]x > 1[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(t)dt=∫ ^{2}_{- ∞ }0dt+∫ ^{1}_{2-\sqrt{2}}(-3t^2+8t-2)dt+∫ ^{x}_{1}0dt=1[/m]
[m]F(x)\left\{\begin {matrix}0, t ≤ 2-\sqrt{2}\\-x^3+4x^2-2x, 2 -\sqrt{2}< x ≤1\\1, x > 1 \end {matrix}\right.[/m]
2)
По определению:
[m]M(X)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }t\cdot f(t)dt[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X)= ∫ ^{1 }_{2-\sqrt{2}}t\cdot (-3t^2+8t-2)dt=∫ ^{1 }_{2-\sqrt{2}}(-3t^3+8t^2-2t)dt=(-3\frac{t^4}{4}+8\frac{t^3}{3}-t^2)|^{1 }_{2-\sqrt{2}}=[/m]
3)
По формуле:
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
По определению:
[m]M(X^2)=∫ ^{∞ }_{- ∞ }t^2\cdot f(t)dt[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то интеграл равен сумме интегралов по трем промежуткам (первый и последний равны 0, так как функция равна 0):
[m]M(X^2)=∫ ^{1 }_{2-\sqrt{2}}t^2\cdot (-3t^2+8t-2)dt=∫ ^{1 }_{2-\sqrt{2}}(-3t^4+8t^3-2t^2)dt=[/m]
Тогда
[red]D(X)=M(X^2)-(M(X))^2=...[/red]
4)
[m]P(X>\frac{3}{4})=F(+ ∞ )-F(\frac{3}{4})=1-((\frac{3}{4})^3+4\cdot \frac{3}{4}^2-2\cdot \frac{3}{4})=...[/m]