Задача 64509 Решить тест и дз...
Условие
Решение
1)
[m] ∫_{4} ^{9}\frac{\sqrt{x} \cdot dx}{\sqrt{x}-1}=[/m] [red]замена переменной[/red]
[m]\sqrt{x}=t[/m] ⇒ [m]x=t^2[/m]
[m]dx=2tdt[/m]
[m]x_{1}=4[/m] ⇒ [m]t_{1}=\sqrt{4}=2[/m]
[m]x_{2}=9[/m] ⇒ [m]t_{2}=\sqrt{9}=3[/m]
[m]= ∫ _{2}^{3}\frac{t}{t-1}\cdot 2tdt=2∫ _{2}^{3}\frac{t^2}{t-1}dt=[/m]
получили неправильную дробь под знаком интеграла
[m]=2∫ _{2}^{3}\frac{t^2-1+1}{t-1}dt=2(∫ _{2}^{3}\frac{t^2-1}{t-1}dt+∫ _{2}^{3}\frac{1}{t-1}dt)=2(∫ _{2}^{3}(t+1)dt+∫ _{2}^{3}\frac{1}{t-1}dt)=...[/m] считайте
2)
[m] ∫_{1} ^{2}\frac{\sqrt{4-x^2}dx}{x^2}=[/m] [red]замена переменной[/red]
[m]x=2sint[/m] ⇒ [m]4-x^2=4-(2sint)^2=4-4sin^2t=4(1-sin^2t)=4cos^2t[/m]
[m]\sqrt{4-x^2}=\sqrt{4cos^2t}=2 cost[/m]
[m]dx=2(sint)`dt=2cost dt[/m]
[m]x_{1}=1[/m] ⇒ [m]1=2sint[/m] ⇒ [m]sint=\frac{1}{2}[/m] ⇒ [m]t_{1}=\frac{π}{6}[/m]
[m]x_{2}=2[/m] ⇒ [m]2=2sint[/m] ⇒ [m]sint=1[/m] ⇒ [m]t_{1}=\frac{π}{2}[/m]
[m]=∫_{\frac{π}{6}} ^{\frac{π}{2}}\frac{2cost\cdot 2cost dt}{(2sint)^2}=∫_{\frac{π}{6}} ^{\frac{π}{2}}tg^2tdt=∫_{\frac{π}{6}} ^{\frac{π}{2}}(\frac{1}{cos^2t}-1)dt=(tgt-t)|_{\frac{π}{6}} ^{\frac{π}{2}}=...[/m] считайте
3) интегрирование по частям
[m]u=ln(x+1)[/m] ⇒ [m]du=\frac{1}{x+1}dx[/m]
[m]dv=xdx[m] ⇒ [m]v= ∫ xdx=\frac{x^2}{2}[/m]
Применяем формулу ( см тест вопрос 4)
