Задача 64483 Найти dy/dx и d^2y/dx^2 для заданных...

6182340a3d5d7c0560db11d7

09.05.2022 17:25:12

Найти dy/dx и d^2y/dx^2 для заданных функций
x=e^-t sint ; y=e^t cost

626fab9a354ab65fb2f43abb

09.05.2022 19:55:18

★

x = e^(-t) sin t; y = e^t cos t
Первая производная:
dy/dx = (dy/dt) : (dx/dt)
dx/dt = -e^(-t) sin t + e^(-t) cos t = e^(-t) (cos t - sin t)
dy/dt = e^t cos t + e^t (-sin t) = e^t (cos t - sin t)
dy/dx = (dy/dt) : (dx/dt)
[b]dy/dx[/b] = (e^t (cos t - sin t)) : (e^(-t) (cos t - sin t)) = [b]e^(2t)[/b]
Вторая производная:
d^2y/dx^2 = ((dy/dx)'_t) : (dx/dt)
Здесь делимое - это производная по t от dy/dx:
(dy/dx)'_t = (e^(2t))'_t = 2e^(2t)
d^2y/dx^2 = ((dy/dx)'_t) : (dx/dt)
[b]d^2y/dx^2[/b] = (2e^(2t)) : (e^(-t) (cos t - sin t)) = [b]2e^(3t)/(cos t - sin t)[/b]


Ответ: dy/dx = e^(2t); d^2y/dx^2 = 2e^(3t)/(cos t - sin t)