Задача 63553 ...

6193afee7c282c3a2a3c7b9f

06.03.2022 16:55:23

Исследовать ряд на сходимость:

∑ (n=1 to ∞) (cos² n) / ((n + 2) ln^2(n + 3))

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.03.2022 19:06:42

★

[m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{cos^2n}{(n+2)ln^2(n+3)} [/m]

Применяем признак Абеля ( см. скрин1)

1)

Последовательность (a_(n))

a_(n)=cos^2n ограничена, так как 0 ≤ cos^2n ≤ 1


2)
Ряд[m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{1}{(n+2)ln^2(n+3)} [/m]- сходится ( cм. признак сравнения), так как [i]эквивалентен[/i] ряду [m]∑_{1}^{+ ∞}\frac{1}{(n+3)ln^2(n+3)} [/m], который сходится по интегральному признаку

[m] ∫_{1}^{+ ∞} \frac{dx}{(x+3)ln^2(x+3)}=∫_{1}^{+ ∞} \frac{d(ln(x+3)}{ln^2(x+3)}=-\frac{1}{ln(x+3)}|_{1}^{+ ∞}=0+\frac{1}{ln4}[/m],

О т в е т. Ряд сходится по признаку Абеля