Задача 63400 1) log_(2-2x^2)(2-x^2-x^4)=2 -...

,t,,t

27 февраля 2022 г. в 13:23

1) log_2–2x²(2–x²–x⁴)=2 – 1/log₄(2–2x²);
2) log_3–4x²(9–16x⁴)=2 + 1/log₂(3–4x²).

exponenta

27 февраля 2022 г. в 23:00

★

ОДЗ:
$\left\{\begin {matrix}(2-x^2-x^4)>0\\2-2x^2>0\\2-2x^2 ≠ 1\end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}x^4+x^2-2 <0\\x^2-1<0\\2x^2 ≠ 1\end {matrix}\right.$ ⇒

x⁴+x²–2=0

D=1–4·(–2)=9

$x^2=-2; x^2=1$ значит $x^4+x^2-2=(x^2+2)(x^2-1)$


$\left\{\begin {matrix}(x^2-1)(x^2+2) <0\\x^2-1<0\\2x^2 ≠ 1\end {matrix}\right.$

$x^2+2 >0$ при любых х

$\left\{\begin {matrix}x^2-1<0\\x ≠ ±\frac{\sqrt{2}}{2} \end {matrix}\right.$

ОДЗ: $x ∈ (-1; -\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2};1)$


По формуле перехода к другому основанию:

$\frac{1}{log_{\frac{4}{3}}(2-2x^2)}=log_{2-2x^2}\frac{4}{3}$

Уравнение принимает вид:

$log_{2-2x^2}(2-x^2-x^4)=2-log_{2-2x^2}\frac{4}{3}$

$log_{2-2x^2}(2-x^2-x^4)=2\cdot log_{2-2x^2}(2-2x^2)-log_{2-2x^2}\frac{4}{3}$

$log_{2-2x^2}(2-x^2-x^4)= log_{2-2x^2}(2-2x^2)^2-log_{2-2x^2}\frac{4}{3}$

$log_{2-2x^2}(2-x^2-x^4)= log_{2-2x^2}\frac{3(2-2x^2)^2}{4}$

$(2-x^2-x^4)=\frac{3(2-2x^2)^2}{4}$

$4(2-x^2-x^4)=3(4-8x^2+4x^4)$

$8-4x^2-4x^4=12-24x^2+12x^4$

$16x^4-20x^2+4=0$ – биквадратное уравнение

D=400–256=144

$x^2=\frac{20-12}{32}$ или$x^2=\frac{20+12}{32}$


$x^2=\frac{1}{4}$ или$x^2=1$

$x_{1,2}= ± \frac{1}{2}$ или$x_{3,4}= ± 1$ – не удовл . ОДЗ

О т в е т. $± \frac{1}{2}$



2.
ОДЗ:
$\left\{\begin {matrix}(9-16x^4)>0\\3-4x^2>0\\3-4x^2 ≠ 1\end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}16x^4-9 <0\\4x^2-3<0\\4x^2 ≠ 2\end {matrix}\right.$ ⇒ $\left\{\begin {matrix}(4x^2-3)(4x^2+3) <0\\4x^2-3<0\\x^2 ≠\frac{1}{2}\end {matrix}\right.$

$4x^2+3 >0$ при любых х

$\left\{\begin {matrix}4x^2-3<0\\x ≠ ±\frac{\sqrt{2}}{2} \end {matrix}\right.$⇒$\left\{\begin {matrix}(2x-\sqrt{3})(2x+\sqrt{3})<0\\x ≠ ±\frac{\sqrt{2}}{2} \end {matrix}\right.$

ОДЗ: $x ∈ ( -\frac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})\cup(-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2})\cup(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$


По формуле перехода к другому основанию:

$\frac{1}{log_{2}(3-4x^2)}=log_{3-4x^2}2$

Уравнение принимает вид:

$log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2+log_{3-4x^2}2$

$log_{3-4x^2}(9-16x^4)=2\cdot log_{3-4x^2}+log_{3-4x^2}2$

$log_{3-4x^2}(9-16x^4)= log_{3-4x^2}(3-4x^2)^2+log_{3-4x^2}2$

$log_{3-4x^2}(9-16x^4)=log_{3-4x^2}2\cdot (3-4x^2)^2$

$(9-16x^4)=2\cdot (3-4x^2)^2$

$9-16x^4=2\cdot (9-24x^2+16x^4)$

$9-16x^4=18-48x^2+32x^4$

$48x^4-48x^2+9=0$ – биквадратное уравнение

D=(–48)²–4·48·9=48(48–36)=48·12=16·3·3·4

√D=4·3·2=24

$x^2=\frac{48-24}{96}$ или$x^2=\frac{48+24}{36}$


$x^2=\frac{1}{4}$ или$x^2=2$

$x_{1,2}= ± \frac{1}{2}$ или$x_{3,4}= ± \sqrt{2}$ – не удовл . ОДЗ

О т в е т. $± \frac{1}{2}$