Задача 63363 ...

604dc3c4ee495c5c9acb8c84

25 февраля 2022 г. в 17:13

[m]log_{1-\frac{x^2}{17}}(x^2-8|x|+17) ≥ log_{1+\frac{x^2}{17}}(x^2-8|x|+17)[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25 февраля 2022 г. в 18:58

★

ОДЗ:

[m]\left\{\begin {matrix}1-\frac{x^2}{17} >0\\1-\frac{x^2}{17} ≠1\\ 1+\frac{x^2}{17} >0\\1+\frac{x^2}{17} ≠ 1\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x^2}{17} <1\\-\frac{x^2}{17} ≠0\\ x ∈ (- ∞;+ ∞) \\\frac{x^2}{17} ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒

[m]x ∈ (-\sqrt{17};0) \cup(0:\sqrt{17})[/m]

Переходим к одному основанию:

[m]\frac{lg(x^2-8|x|+17)}{lg(1-\frac{x^2}{17})} ≥ \frac{lg(x^2-8|x|+17)}{lg(1+\frac{x^2}{17})} [/m]

Сравниваем с 0:

[m]\frac{lg(x^2-8|x|+17)}{lg(1-\frac{x^2}{17})} - \frac{lg(x^2-8|x|+17)}{lg(1+\frac{x^2}{17})} ≥ 0 [/m]


Раскладываем на множители:

[m]lg(x^2-8|x|+17)\cdot (\frac{1}{lg(1-\frac{x^2}{17})} - \frac{1}{lg(1+\frac{x^2}{17})} )≥ 0 [/m]


[m]lg(x^2-8|x|+17)\cdot (\frac{lg(1+\frac{x^2}{17})-lg(1-\frac{x^2}{17})}{lg(1-\frac{x^2}{17})\cdot lg(1+\frac{x^2}{17})} )≥ 0 [/m]


Применяем ОБОБЩЕННЫЙ метод интервалов:

Находим нули функции :
[m]lg(x^2-8|x|+17)=0[/m] ⇒ [m]x^2-8|x|+17=1[/m]⇒ [m]x^2-8|x|+16=0[/m]⇒ [m](|x|-4)^2=0[/m] ⇒ [m]x= ± 4[/m]

[m]lg(1+\frac{x^2}{17})-lg(1-\frac{x^2}{17})=0[/m] ⇒ [m]lg(1+\frac{x^2}{17})=lg(1-\frac{x^2}{17})[/m] ⇒ [m]1+\frac{x^2}{17}=1-\frac{x^2}{17}[/m] ⇒ [m]2\frac{x^2}{17}=0[/m] ⇒ [m]x=0[/m]


Находим нули знаменателя:

[m]lg(1-\frac{x^2}{17})\cdot lg(1+\frac{x^2}{17})=0 [/m]⇒ [m]1-\frac{x^2}{17}=0[/m] или [m]1+\frac{x^2}{17}=0[/m]


⇒ [m]x=0[/m]


Отмечаем нули функции закрашенным кружком ( я рисую квадратные скобки)

нули знаменателя не закрашенным кружком ( я рисую круглые скобки)


И расставляем с знаки:

[m]lg(1+\frac{x^2}{17})>lg1=0[/m] ; [m]lg(1-\frac{x^2}{17})<lg1=0[/m]

[m]lg(x^2-8|x|+17)>lg1=0[/m] (см. график y=x²–8|x|+17 на рис. )



_____–___ [–4] ___–_____ (0) _____–____ [4] _______–______


С учетом ОДЗ получаем ответ

x= ± 4