Задача 63148 Написать уравнение плоскости, проходящей...

6206a18377cb6e01fe988405

11.02.2022 20:50:54

Написать уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей x+y −z + 1 = 0 и x0z , перпендикулярной плоскости x− 3y +z = 0.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

11.02.2022 21:10:50

★

Уравнение плоскости x0z :

y=0

Прямая задана как линия пересечения плоскостей:
{ x+y −z + 1 = 0
{y=0

На этой прямой имеется бесчисленное множество точек, у всех этих точек y=0

Полагая х=2

получаем z=3


Полагая х=1

получаем z=2

Итак, прямая проходит через точки P (2;0;3) и K(1;0;2)

Задача сводится к другой задаче:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки P(2;0;3) и K(1;0;2)

и перпендикулярной плоскости x− 3y +z = 0




Пусть M(x;y;z) - произвольная точка искомой плоскости.

Тогда vector{PM}=(x-2;y;z-3} и vector{KM}=(1-2;0;2-3}=(1;0;-1)

лежат в искомой плоскости.

x− 3y +z = 0 ⇒нормальный вектор этой плоскости vector{n}=(1;-3;1) коллинеарен искомой плоскости

Значит, три вектора {PM}=(x-2;y;z-3} ; vector{KM}=(1-2;0;2-3}=(1;0;-1); vector{n}=(1;-3;1) компланарны.

Условие компланарности трех векторов - равенство нулю определителя

третьего порядка, составленного из координат этих векторов

[m]\begin {vmatrix} x-2&y&z-3\\1&0&-1\\1&-3&1\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель и получаем ответ:

-y-3(z-3)-3(x-2)-y=0

[b]3x+2y+3z-15=0[/b]