Задача 62536 Найдите угол между диагоналями...

Шура

9 января 2022 г. в 14:59

Найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах

exponenta

9 января 2022 г. в 16:55

★

$\vec{d_{1}}=\vec{a}+\vec{b}=(\vec{m}-3\vec{n})+(2\vec{m}-\vec{n})=3\vec{m}-4\vec{n}$

$\vec{d_{2}}=\vec{a}-\vec{b}=(\vec{m}-3\vec{n})-(2\vec{m}-\vec{n})=-\vec{m}-2\vec{n}$


так как $\vec{d_{1}}\cdot \vec{d_{2}}=|\vec{d_{1}}|\cdot |\vec{d_{2}}|\cdot cos∠ ( \vec{d_{1}},\vec{d_{2}})$

то $cos∠ ( \vec{d_{1}},\vec{d_{2}})=\frac{ \vec{d_{1}}\cdot \vec{d_{2}}}{|\vec{d_{1}}|\cdot |\vec{d_{2}}|}$

Находим скалярное произведение:

$\vec{d_{1}}\cdot\vec{d_{2}}= (3\vec{m}-4\vec{n})\cdot (-\vec{m}-2\vec{n})=$

векторная АЛГЕБРА, поэтому как в алгебре раскрываем скобки:

$=-3\vec{m}\cdot \vec{m}+4\vec{n}\cdot \vec{m}+6\vec{m}\cdot \vec{n}+8\vec{n}\cdot \vec{n}=-3\cdot ( \vec{m})^2+10\vec{m}\cdot \vec{n}+8(\vec{n})^2$


По условию

$\vec{m}=1$

$\vec{n}=2$

$∠ ( \vec{m},\vec{n})=\frac{π}{3}$

$\vec{d_{1}}\cdot\vec{d_{2}}=-3\cdot ( \vec{m})^2+10\vec{m}\cdot \vec{n}+8(\vec{n})^2=-3\cdot 1\cdot 1\cdot cos0+10\cdot 1\cdot 2\cdot cos\frac{π}{3}+8\cdot 2\cdot 2\cdot cos0=-3+10+32=39$

$|\vec{d_{1}}|^2=\vec{d_{1}}\cdot\vec{d_{1}}=(3\vec{m}-4\vec{n})\cdot(3\vec{m}-4\vec{n})=$
$|\vec{d_{2}}|^2=\vec{d_{2}}\cdot\vec{d_{2}}=(-\vec{m}-2\vec{n})\cdot(-\vec{m}-2\vec{n})=$