Задача 62487 составьте уравнения сторон треугольника...

61cc9560f9ee7a38ce6b06bd

29.12.2021 20:06:37

составьте уравнения сторон треугольника зная одну из его вершин A(-1,2) и уравнения двух медиан x-y-3=0 и 5x+4y-9=0 решение

5f3ea7e3faf909182968ddd9

30.12.2021 20:19:11

Найдем точку пересечения медиан
{x–y–3=0 ⇒ х=у+3
{5x+4y–9=0 ⇒ 5*(y+3)+4y-9=0 ⇒ 9y=-6 ⇒ y=-2/3; x=(-2/3)+3=7/3

M(7/3; -2/3)

Составим уравнение третьей медианы АМ как прямой, проходящей через две точки

A (x_(A);y_(A)) и M (x_(M);y_(M)) и имеет вид:

[m]\frac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}}[/m]


[m]\frac{x-(-1)}{\frac{7}{3}-(-1)}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}-2}[/m] ⇒[m]\frac{x+1}{\frac{10}{3}}=\frac{y-2}{-\frac{8}{3}}[/m]

пропорция
[m]-\frac{8}{3}(x-1)=\frac{10}{3}(y-2)[/m]


[m]-8x+8=10y-20[/m]

[m]8x+10y-28=0[/m]

[m]4x+5y-14=0[/m]



Медиана АМ проходит через точку F- середину отрезка BC
[m]4x_{F}+5y_{F}-14=0[/m]

[m]x_{F}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}[/m]

[m]y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}[/m]

Пусть точка C принадлежит первой медиане х=у+3 , точка B принадлежит второй медиане 5x+4y–9=0

[m]х_{C}=у_{C}+3[/m]
[m]5x_{B}+4y_{B}–9=0[/m]

Решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}4x_{F}+5y_{F}-14=0\\x_{F}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\\х_{C}=у_{C}+3\\5x_{B}+4y_{B}–9=0\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}x_{F}\frac{14-5y_{F}}{4}\\\frac{14-5y_{F}}{4}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\\х_{C}=у_{C}+3\\5x_{B}+4y_{B}–9=0\end {matrix}\right.[/m]

Находим координаты точек B и С

Составляем уравнения сторон