Задача 62487 составьте уравнения сторон треугольника...

Мариям

29 декабря 2021 г. в 20:06

составьте уравнения сторон треугольника зная одну из его вершин A(–1,2) и уравнения двух медиан x–y–3=0 и 5x+4y–9=0 решение

exponenta

30 декабря 2021 г. в 20:19

Найдем точку пересечения медиан
{x–y–3=0 ⇒ х=у+3
{5x+4y–9=0 ⇒ 5·(y+3)+4y–9=0 ⇒ 9y=–6 ⇒ y=–2/3; x=(–2/3)+3=7/3

M(7/3; –2/3)

Составим уравнение третьей медианы АМ как прямой, проходящей через две точки

A (x_A;y_A) и M (x_M;y_M) и имеет вид:

$\frac{x-x_{A}}{x_{M}-x_{A}}=\frac{y-y_{A}}{y_{M}-y_{A}}$


$\frac{x-(-1)}{\frac{7}{3}-(-1)}=\frac{y-2}{-\frac{2}{3}-2}$ ⇒$\frac{x+1}{\frac{10}{3}}=\frac{y-2}{-\frac{8}{3}}$

пропорция
$-\frac{8}{3}(x-1)=\frac{10}{3}(y-2)$


$-8x+8=10y-20$

$8x+10y-28=0$

$4x+5y-14=0$



Медиана АМ проходит через точку F– середину отрезка BC
$4x_{F}+5y_{F}-14=0$

$x_{F}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}$

$y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}$

Пусть точка C принадлежит первой медиане х=у+3 , точка B принадлежит второй медиане 5x+4y–9=0

$х_{C}=у_{C}+3$
$5x_{B}+4y_{B}–9=0$

Решаем систему уравнений:

$\left\{\begin {matrix}4x_{F}+5y_{F}-14=0\\x_{F}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\\х_{C}=у_{C}+3\\5x_{B}+4y_{B}–9=0\end {matrix}\right.$

$\left\{\begin {matrix}x_{F}\frac{14-5y_{F}}{4}\\\frac{14-5y_{F}}{4}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}\\y_{F}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}\\х_{C}=у_{C}+3\\5x_{B}+4y_{B}–9=0\end {matrix}\right.$

Находим координаты точек B и С

Составляем уравнения сторон