Задача 62399 ...
Условие
ln(y^2 + sqrt(x)) = arctg x * sin(∛y)
Решение
Учитываем, что х независимая переменная, а у- сложная функция
[m]\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot (y^2+\sqrt{x})`=(arctgx)`\cdot sin\sqrt[3]{y}+arctgx\cdot (sin\sqrt[3]{y})`[/m]
[m]\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot(2y\cdot y`+\frac{1}{2\sqrt{x}})=\frac{1}{1+x^2}\cdot sin\sqrt[3]{y}+arctgx\cdot (cos\sqrt[3]{y})\cdot (\sqrt[3]{y})`[/m]
[m]\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot(2y\cdot y`+\frac{1}{2\sqrt{x}})=\frac{1}{1+x^2}\cdot sin\sqrt[3]{y}+arctgx\cdot (cos\sqrt[3]{y})\cdot \frac{1}{3}\cdot y^{-\frac{2}{3}}\cdot y`[/m]
Находим y`
[m](\frac{2y}{y^2+\sqrt{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}}\cdot arctgx\cdot cos\sqrt[3]{y})\cdot y`=\frac{sin\sqrt[3]{y}}{1+x^2}-\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}[/m]
[m]y`=\frac{\frac{sin\sqrt[3]{y}}{1+x^2}-\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{2y}{y^2+\sqrt{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}}\cdot arctgx\cdot cos\sqrt[3]{y}}[/m]
[m]dy=y`dx[/m]
[m]dy=\frac{\frac{sin\sqrt[3]{y}}{1+x^2}-\frac{1}{y^2+\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{2y}{y^2+\sqrt{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{y^2}}\cdot arctgx\cdot cos\sqrt[3]{y}}dx[/m]