Задача 62232 Провести полное исследование x^2 + 1/x^2...
Условие
Решение
Функция является чётной
Область определения симметрична относительно 0 и
[m] y(-x)=(-x)^2+\frac{1}{ (-x)^2}=x^2+\frac{1}{x^2}[/m]
[m]y(-x) = y(x)[/m]
Прямая [m] x=0 [/m] является [i] вертикальной[/i] асимптотой.
Так как [m] lim_{x →0}(x^2+\frac{ 1}{x^2}=+ ∞ [/m]
[i]Горизонтальных[/i] асимптот нет, так как
[m] lim_{x → ∞}(x^2+\frac{1}{x^2}= ∞ [/m]
Наклонных асимптот тоже нет:
:
[m] k= lim_{x → ∞}\frac{f(x)}{x}=lim_{x → ∞}(x+\frac{1}{x^3}= ∞ [/m]
[b]Исследование с помощью первой производной[/b]:
[m]y`=(x^2)`+(\frac{1}{x^2})`[/m]
[m]y`=2x-\frac{2}{x^3}[/m]
[m]y`=\frac{2x^4-2}{x^3}[/m]
y`=0
x=-1; x=1
Расставляем знак производной на ОДЗ:
____-_ (-1) ___+___ (0) ___-__ (1) ___+__
y`>0 на (- 1;0) и на (1;+ ∞ )
Значит функция возрастает на (- 1;0) и на (1;+ ∞ )
y`<0 на (- ∞;-1) и на (0;1)
Значит, функция убывает на (- ∞;-1) и на (0;1)
x=-1 и x=1 - точки минимума, производная меняет знак с - на +
[m]y( ±1 )=( ±1)^2+ \frac{1}{(±1)^2}=1+1=2[/m]
[b]Исследование с помощью второй производной:[/b]
[m]y``=(y`)`=(2x-\frac{2}{x^3})`[/m]
[m]y``=2+\frac{6}{x^4}>0[/m] при всех х ∈ (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )
m]y`` >0 [/m] на (0;+ ∞ ) ⇒ функция выпукла вниз на (- ∞ ;0)U(0;+ ∞ )
точек перегиба нет
