Задача 62215 7. Составить уравнение плоскости,...

Алексей_327252618

16 декабря 2021 г. в 17:41

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось ОУ перпендикулярно к плоскости, проходящей через точки А (0; 2; 0), В ( 1/2; 0; 1) и С (–1/4;–1;1 ).

exponenta

16 декабря 2021 г. в 19:23

★

Пусть уравнение плоскости АВС имеет вид:

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты точки А:

2b+d=0

Подставляем координаты точки B:

(1/2)a+c+d=0

Подставляем координаты точки B:

(–1/4)a–b+c+d=0


Решаем систему трех уравнений с четырьмя неизвестными:

{2b+d=0 ⇒ d=–2b
{(1/2)a+c+d=0
{(–1/4)a–b+c+d=0


Подставляем d=–2b во второе и третье уравнение:

{2b+d=0 ⇒ d=–2b
{(1/2)a+c–2b=0 ⇒ (1/2)a–2b+c=0
{(–1/4)a–b+c–2b=0 ⇒ (–1/4)a–3b+c=0

Вычитаем из второго третье:

{2b+d=0 ⇒ d=–2b
{(1/2)a–2b+c=0
{ (3/4)a+b=0 ⇒ a=(–4/3)b подставляем во второе

(1/2)·(–4/3)b–2b+c=0 ⇒ с=(8/3)b

Тогда уравнение плоскости АВС принимает вид:

(–4/3)bx+by+(8/3)bz–2b=0


Делим на b

(–4/3)x+y+(8/3)z–2=0


Умножаем на 4

–4x+3y+8z–6=0

4x–3y–8z+6=0

n=(4;–3;–8) – нормальный вектор плоскости АВС


Искомая плоскость, проходит через ось Оy и перпендикулярна плоскости АВС

Пусть M(x;y;z) – произвольная точка этой плоскости.

Тогда OM=(x;y;z)
O(0;0;0) – начало координат
j=(0;1;0}
и
n₁=(4;–3;–8)
КОМПЛАНАРНЫ.

Условие компланарности векторов – равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из координат этих векторов


[m]\begin {vmatrix} x&y&z\\0&1&0\\4&-3&-8\end {vmatrix}=0[/m] ⇒ –8x–4z=0 ⇒ 2x+z=0

n₂=(2;1)–нормальный вектор искомой плоскости

n₁·n₂=4·2+(–3)·0+(–8)·1=0 – скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, значит векторы ортогональны

Значит и плоскости перпендикулярны


О т в е т. 2x+z=0