Задача 62086 Найдите корни уравнения sin^2x + 3/2...

6035fc7016e9eb62f3f77539

10.12.2021 18:50:35

Найдите корни уравнения sin^2x + 3/2 cos^2x = 5/2 sinxcosx на промежутке [180°;360°] для самых маленьких корней х_1 и самых больших корней х_2 и найдите х_1/tg^2x_2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.12.2021 19:03:06

★

Это однородное тригонометрическое уравнение второго порядка.

Делим на cos^2x

tg^2x-(5/2)tgx+(3/2)=0


Замена переменной: tgx=t

t^2-(5/2)t+(3/2)=0


2t^2-5t+3=0

D=25-4*2*3=1

t_(1)=(5-1)/4=1; t_(2)=(5+1)/4=3/2=1,5

tgx=1 ⇒ x=(π/4)+πn, n ∈ Z

На [180°;360°] - корень [red] x_(1)=45 ° +180 °=225 ° [/red]

tgx=1,5 ⇒ x=arctg 1,5+πn, n ∈ Z

На [180°;360°] - корень [red] x_(2)=arctg 1,5+π [/red]

Тогда

х_(1)/tg^2x_(2)=225 ° /1,5^2=100 °