Задача 61809 ...

619d06c90e11ec0cc08e492d

25.11.2021 21:55:36

1. Решите уравнение -2sin (x + π/2) = -√2 на промежутке (0;2π).

2. Используя метод вспомогательного аргумента покажите, что уравнение
sin4x - cos4x = √2 можно привести в виду sin(4x - π/4) = 1.

Запишите общее решение уравнения sin4x - cos4x = √2

5f3ea7e3faf909182968ddd9

25.11.2021 22:02:48

★

По формулам приведения

[m]sin(x+\frac{π}{2})=cosx[/m]

[m]-2cosx=-\sqrt{2}[/m]

[m]cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}[/m] ⇒ [m]x= ± \frac{π}{4}+2πn, n ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]x=\frac{π}{4}[/m] и [m]x=-\frac{π}{4}+2π=\frac{7π}{4}[/m]- корни, принадлежащие интервалу (0;2π)


2.
Делим обе части уравнения на [m]\sqrt{2}[/m]

[m]\frac{1}{\sqrt{2}}sin4x-\frac{1}{\sqrt{2}}cos4x=1[/m]

[m]cos\frac{π}{4}sin4x-sin\frac{π}{4}cos4x=1[/m]

[m]sin(4x-\frac{π}{4})=1[/m]

[m](4x-\frac{π}{4})=\frac{π}{2}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]4x=\frac{π}{4}+\frac{π}{2}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]

[m]4x=\frac{3π}{4}+2πk, k ∈ [/m][b]Z[/b]

Делим на 4

[m]x=\frac{3π}{16}+\frac{π}{2}k, k ∈ [/m][b]Z[/b]