Задача 61651 Найти общее решение дифференциального...
Условие
y''+100y = 20sin10x - 200e^(10x) - 30cox10x
Решение
y_(общее неодн.)=y_(общее одн.)+y_(частное неодн.)
1)
Решаем однородное :
y'' +100y =0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2+100=0
k_(1)=-10*i; k_(2)=10*i– корни комплексно-сопряженные
α =0 ; β=10
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
y_(общее одн.)=e^(αx)*(С_(1)*cos βx+C_(2)*sin βx)
y_(общее одн.)=e^(0x)*(С_(1)*cos 10x+C_(2)*sin 10x)
[b]y_(общее одн.)=С_(1)*cos 10x+C_(2)*sin 10x[/b]
2)
Так как правая часть уравнения имеет специальный вид, то для того чтобы найти частное решение
применяем метод неопределенных коэффициентов
f(x)=20sin10x-30cos10x-200e^(10x)
f(x)=f_(1)(x)+f_(2)(x)
a)
f_(1)(x)=20sin10x-30cos10x
-10*i и 10*i– корни характеристического уравнения, значит
y_(частное1 неоднородного)=(Ax+B)*sin10x+(Kx+D)*cos10x
y`_(ч. 1н)=((Ax+B)*sin10x+(Kx+D)*cos10x)`=
A*sin10x+(Ax+B)*10cos10x+K*cos10x+(Kx+D)*(-10sin10x)=(-10Kx-10D+A)*sin10x+(10Ax+10B+K)*cos10x
y``_(ч.1н)=(y`_(ч. 1н))`=((-10Kx-10D+A)*sin10x+(10Ax+10B+K)*cos10x)`=
....
Подставляем в уравнение
y'' +100y =20sin10x-30cos10x
Находим A;B;K;D
[b]y_(частное1 неоднородного)=[/b]
б)
f_(2)(x)=-200e^(10x)
y_(частное2 неоднородного)=Me^(10x)
y_(ч. 2н)=M*e^(10x)*(10x)`=10M*e^(10x)
y``_(ч.2н)=(10M*e^(10x))`=10*M*e^(10x)*(10x)`=100Me^(10x)
Подставляем в уравнение
y'' +100y=-200e^(10x)
100Me^(10x)+100*Me^(10x)=-200e^(10x)
200Me^(10x)=-200e^(10x)
M=-1
[b]y_(частное2 неоднородного)=-e^(10x)[/b]
О т в е т. y=y_(общее однород)+y_(частн1 неодн)+у_(частн2 неодн)
y= [b]С_(1)*cos 10x+C_(2)*sin 10x+... - e^(10x)[/b]