Задача 61545 ...

618fd5213eb11b1fe5a022ef

14.11.2021 12:00:12

Задания 1. Дана функция z = f(x, y) Найти: 1) полный дифференциал dz 2) частные производные второго порядка ∂²z/∂x² и ∂²z/∂y² 3) смешанные частные производные ∂²z/∂x∂y и ∂²z/∂y∂x.

7. Дана функция z = e^(x/y). Показать, что у ∂²z/∂x∂y = ∂z/∂y - ∂z/∂x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.11.2021 16:31:26

★

[m]z=e^{\frac{x}{y}}[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂x }=(e^{\frac{x}{y}})`_{x}=(e^{\frac{x}{y}})\cdot (\frac{x}{y})`_{x}=e^{\frac{x}{y}}\cdot \frac{1}{y}[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂y }=(e^{\frac{x}{y}})`_{y}=(e^{\frac{x}{y}})\cdot (\frac{x}{y})`_{y}=e^{\frac{x}{y}}\cdot x\cdot (-\frac{1}{y^2})[/m]

[m]\frac{ ∂^2z }{ ∂x ∂y }=((e^{\frac{x}{y}})\cdot (\frac{1}{y}))`_{y}=(e^{\frac{x}{y}})`_{y}\cdot \frac{1}{y}+(e^{\frac{x}{y}})\cdot (\frac{1}{y})`_{y}=e^{\frac{x}{y}}\cdot(\frac{x}{y})`_{y} \cdot \frac{1}{y}+e^{\frac{x}{y}}\cdot (-\frac{1}{y^2})=e^{\frac{x}{y}}\cdot x\cdot (-\frac{1}{y^2}) \cdot \frac{1}{y}+e^{\frac{x}{y}}\cdot (-\frac{1}{y^2})[/m]


Подставляем в уравнение:

[m]y\cdot (e^{\frac{x}{y}}\cdot x\cdot (-\frac{1}{y^2}) \cdot \frac{1}{y}+e^{\frac{x}{y}}\cdot (-\frac{1}{y^2}))=e^{\frac{x}{y}}\cdot x\cdot (-\frac{1}{y^2})-e^{\frac{x}{y}}\cdot \frac{1}{y}[/m]



[m]y\cdot ( x\cdot (-\frac{1}{y^2}) \cdot \frac{1}{y}+ (-\frac{1}{y^2}))= x\cdot (-\frac{1}{y^2})- \frac{1}{y}[/m]


[m] x\cdot (-\frac{1}{y^2}) + y\cdot (-\frac{1}{y^2})= x\cdot (-\frac{1}{y^2})- \frac{1}{y}[/m]- верно