Задача 61503 ...
Условие
∑ (from n=1 to ∞) (x^n / (x^n + 1))
Решение
[m]a_{n+1}=\frac{x^{n+1}}{x^{n+1}+1}[/m]
[m]lim_{n → ∞ }|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=lim_{n → ∞ }|\frac{\frac{x^{n+1}}{x^{n+1}+1}}{\frac{x^{n}}{x^{n}+1}}|=|x|\cdot lim_{n → ∞ }|\frac{x^{n}+1}{x^{n+1}+1}|=[/m]
1)
При |x| >1
[m]lim_{n → ∞ }a_{n}=lim_{n → ∞ }\frac{x^{n}}{x^{n}+1} ≠ 0[/m] Общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится.
2)
При |x| <1
[m]lim_{n → ∞ }|\frac{x^{n}+1}{x^{n+1}+1}|=1[/m]
⇒
[m]lim_{n → ∞ }|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|x|[/m]
По признаку Даламбера, если этот предел меньше 1, то ряд сходится
Интервал сходимости
(-1;1)
Проверяем сходимость на концах:
x=1
получаем числовой ряд:
∑ [m]\frac{1^{n}}{1^{n}+1}[/m] - это расходящийся ряд. Последовательность его частичных сумм не имеет предела...
x=-1
получаем числовой ряд только при четных n
∑ [m]\frac{1}{1+1}[/m] - это расходящийся ряд.
Значит (-1;1) -область сходимости