Задача 61340 Вычислить объём тела, ограниченного...

6183b4c7f87a077765ec7d33

04.11.2021 13:27:09

Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделать чертёж.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.11.2021 13:57:14

★

y=x^2 - параболический цилиндр ( на рис. красного цвета)

z=2-x-y - плоскость.

На рисунке 1 пересечение двух тел

Ограничение плоскостью z=0 ограничивает снизу полученное тело.

А вот плоскость y=0 ограничивает тело между этой плоскостью, плоскостью z=2-x-y и параболическим цилиндром

Нас интересует область D на плоскости хоу

См. рис. 3


V= ∫∫_(D) (2-x-y)dxdy

D=D_(1)UD_(2)

D_(1):
0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x^2

D_(2):
1 ≤ x ≤ 2
0 ≤ y ≤ 2-x

V= ∫_(0)^(1) (∫_(0)^(x^2) (2-x-y)dy)dx+∫_(1)^(2) (∫_(0)^(2-x) (2-x-y)dy)dx=

=∫_(0)^(1) (2y-xy-y^2/2)|_(0)^(x^2)dx+∫_(1)^(2) (2y-xy-y^2/2)|_(0)^(2-x)dx=


=∫_(0)^(1) (2*x^2-x*x^2-(x^2)^2/2)dx+∫_(1)^(2) (2*(2-x)-x*(2-x)-(2-x)^2/2)dx=



=∫_(0)^(1) (2*x^2-x^3-(x^4/2))dx+∫_(1)^(2) (4-2x-2x+x^2)-(4-4x+x^2)/2)dx=


=∫_(0)^(1) (2*x^2-x^3-(x^4/2))dx+∫_(1)^(2) (2-2x+(x^2/2))dx=2*((x^3/3)-(x^4/4)-(x^5/10))|_(0)^(1)+(2x-x^2+(x^3/6))|_(1)^(2) =

=((2/3)-(1/4)-(1/10))+(4-4+(8/6)-2+1-(1/6))=(19/60)+(1/6)=29/60 ≈ 0,483333...