Задача 60831 Упростите выражение [m]...

61018b3ba1c50e1d30443518

25.09.2021 19:41:48

Упростите выражение [m] \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

26.09.2021 11:06:55

★

Пусть

[m] x=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}[/m]


Возводим в куб

[m]x^3=2+\sqrt{5}+3\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})^2\cdot (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})+3\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})\cdot (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})^2+2-\sqrt{5}[/m]


[m]x^3=4+3\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}) \cdot (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})( (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}})+ \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})[/m]

[m]x^3=4+3\cdot (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}) \cdot (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})\cdot( x)[/m]

Так как [m] (\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}) \cdot (\sqrt[3]{2-\sqrt{5}})=\sqrt[3]{2^2-5}=\sqrt[3]{-1}=-1[/m]


[m]x^3=4+3\cdot (-1) \cdot ( x)[/m] ⇒ x=1

О т в е т. [m] \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}=1[/m]