∫ ∫ r^2sin φ * rdrd φ
где область D ограничена r = R, r = 2Rsinф
sin φ =1/2
φ =(π/6); φ=(5π /6)
D=D_(1)UD_(2)UD_(3)
D_(1): 0 ≤ φ ≤ (π/6); 0 ≤ r ≤ 2Rsin φ
D_(2): (π/6) ≤ φ ≤ (5π/6); 0 ≤ r ≤R
D_(3): (5π/6) ≤ φ ≤2π; 0 ≤ r ≤ 2Rsin φ
Интеграл по области D равен сумме трех интегралов:
∫∫ _(D)=∫∫ _(D_(1)) + ∫∫ _(D_(2))+∫∫ _(D_(3))
получаем:
∫∫ _(D)(r^3sin φ drd φ) = ∫_(0) ^(π/6) (∫_(0)^(2Rsin φ) r^3sin φdr)d φ + ∫_(π/6) ^(5π/6) (∫^(R)_(0) r^3sin φdr)d φ+ ∫ _(5π/6)^(π) (∫^(2Rsin φ)_(0) r^3sin φdr)d φ=