Задача 60617 Найти сумму ряда 1/(11n-10)(11n+1)...
Условие
Решение
( cм тему Интегрирование рациональных дробей)
[m]\frac{1}{(11n-10)(11n+1)}=\frac{A}{11n-10}+\frac{B}{11n+1}[/m] ⇒
1=А*(11n+1)+B*(11n-10)
1=(11A+11B)*n+(A-10B)
Получили равенство двух многочленов
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях
Слева n нет. Значит коэффициент равен 0
11А+11В=0 А=-В
А-10В=1 ⇒ -В-10В=1 ⇒ -11В=1; [b]В=-1/11[/b]
[b]А=1/11[/b]
Находим n-ую частичную сумму.
Она конечна.
И потому обладает свойствами конечных сумм: можно выносить общий множитель за скобки, можно переставлять слагаемые:
[m] S_{n}=∑ ^{n }_{1}\frac{1}{(11k-10)(11k+1)}= ∑ ^{n }_{1}(\frac{\frac{1}{11}}{11k-10}+\frac{(-\frac{1}{11})}{11k+1})[/m]
[m] S_{n}=\frac{\frac{1}{11}}{11-10}+\frac{(-\frac{1}{11})}{11+1}+\frac{\frac{1}{11}}{11\cdot 2-10}+\frac{(-\frac{1}{11})}{11\cdot 2+1}+...+
\frac{\frac{1}{11}}{11n-10}+\frac{(-\frac{1}{11})}{11n+1}=[/m]
[m]=\frac{1}{11}\cdot (1-\frac{1}{12}+\frac{1}{12}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{34}+...+\frac{1}{11n-10}-\frac{1}{11n+1})=\frac{1}{11}\cdot (1-\frac{1}{11n+1})[/m]
По определению
[m]S=lim_{n → ∞} S_{n}=lim_{n → ∞}\frac{1}{11}\cdot (1-\frac{1}{11n+1})=\frac{1}{11} [/m]