Задача 60468 Решить неравенство log4(x^2-4)^2 +...
Условие
log4(x^2-4)^2 + log2(x-1)/(x^2-4) > 0
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}(x^2-4)^2>0\\\frac{x-1}{x^2-4} >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix} x^2-4 ≠0 ⇒ x ≠ ±2 \\\frac{x-1}{(x-2)(x+2)} >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ _______ (-2) ____+___ (1) ____ (2) _+__
[b]x ∈ (-2;1) U(2;+ ∞ )[/b]
Решаем неравенство на[i] каждом[/i] промежутке ОДЗ:
!)
[b] x ∈ (-2;1) [/b]
x^2-4<0
и
[m]|x^2-4|=-(x^2-4)=4-x^2[/m]
[m]log_{4}(x^2-4)^2=log_{2^2}(x^2-4)^2=log_{2}|x^2-4|=log_{2}(4-x^2)[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log_{2}(4-x^2)+log_{2}\frac{x-1}{x^2-4}>0[/m]
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
[m]log_{2}(4-x^2)\cdot\frac{x-1}{x^2-4}>0[/m]
[m]log_{2}(1-x) >0[/m] ⇒ [m]log_{2}(1-x) >log_{2}1[/m] ⇒ 1-x> 1 ⇒ -x>0 ⇒
x<0
C учетом x ∈ (-2;1)
получаем о т в е т 1) (-2;0)
[b]x ∈ (2;+ ∞ )[/b]
x^2-4>0
и
[m]|x^2-4|=x^2-4[/m]
[m]log_{4}(x^2-4)^2=log_{2^2}(x^2-4)^2=log_{2})|x^2-4|=log_{2}(x^2-4)[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]log_{2}(x^2-4)+log_{2}\frac{x-1}{x^2-4}>0[/m]
Заменим сумму логарифмов логарифмом произведения:
[m]log_{2}(x^2-4)\cdot\frac{x-1}{x^2-4}>0[/m]
[m]log_{2}(x-1) >0[/m] ⇒ [m]log_{2}(x-1) >log_{2}1[/m] ⇒ x-1> 1 ⇒ x>2 ⇒
C учетом x ∈ (2;+ ∞ )
получаем о т в е т 2) (2;+ ∞ )
Объединяем ответы: [m] (-2;0) \cup (2;+ ∞ )[/m]