Задача 60452 ...

60d86d5ba1c50e1d30440bb5

31.07.2021 01:04:26

Решить логарифмическое неравенство

[block](log3x^4*log(1/3)x^2 + log3x^2-log(1/3)x^4+2)/((log(1/3)x^2)^3 + 64) ≤ 0[/block]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.07.2021 13:15:01

ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}x^4>0\\x^2>0\\(log_{\frac{1}{3}}x^2)^3+64 ≠0 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≠ 0\\log_{\frac{1}{3}}x^2 ≠-4 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≠ 0\\x^2 ≠(\frac{1}{3})^{-4} \end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}x ≠ 0\\x^2 ≠81\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x ≠ 0\\x ≠ ± 9\end {matrix}\right.[/m] ⇒

ОДЗ: x ∈ (- ∞ ;-9) U(-9;0) U(0;9)U(9;+ ∞ )

По формуле [r] [m]log_{a^{m}}b^{k}=\frac{k}{m}log_{a}b; a>0; a ≠1; b>0 [/m][/r]


[m]log_{3}x^{4}=log_{3}(x^2)^2=2log_{3}x^2[/m]

[m]log_{\frac{1}{3}}x^{2}=log_{3^{-1}}x^2=-log_{3}x^2[/m]

[m]log_{\frac{1}{3}}x^{4}=log_{3^{-1}}(x^2)^2=-2log_{3}x^2[/m]



[b][i]Замена переменной:[/i][/b]

[m]log_{3}x^2=t[/m]


Неравенство принимает вид:


[m]\frac{2t\cdot (-t)+t-(-2t)+2}{(-t)^3+64} ≤ 0[/m]

[m]\frac{2t^2-3t-2}{t^3-64} ≤ 0[/m]


Решаем [i]методом интервалов.[/i]

Нули числителя:

[m]2t^2-3t-2=0[/m]

D=(-3)^2-4*2*(-2)=9+16=25

t_(1)=-0,5; t_(2)=2

Нули знаменателя:

[m] t^3-64=0[/m]

t=4

__-___ [-0,5] ____+_____ [2] __-___ (4) ___+__

[m] t ≤ -0,5[/m] или [m] 2 ≤ t <4[/m]

Обратный переход:

t ≤ -0,5 или 2 ≤ t <4

[m] log_{3}x^2≤ -0,5 [/m] или [m] 2 ≤log_{3}x^2 <4[/m]

[m] log_{3}x^2≤ -0,5\cdot log_{3}3 [/m] или [m] 2\cdot log_{3}3 ≤log_{3}x^2 <4\cdot log_{3}3[/m]

[m] log_{3}x^2≤ log_{3}3^{-0,5} [/m] или [m] log_{3}3^2 ≤log_{3}x^2 < log_{3}3^4[/m]

Логарифмическая функция с основанием 3>1 возрастает,

[m] x^2≤ 3^{-0,5} [/m] или [m] 3^2 ≤x^2 < 3^4[/m] ⇒

[m] x^2≤ \frac{1}{\sqrt{3}} [/m] или [m] 9 ≤x^2 < 81[/m] ⇒

По формуле: [r][m]\sqrt{x^2}=|x|[/m][/r]

[m] |x|≤ \frac{1}{\sqrt[4]{3}} [/m] или [m] 3 ≤|x| < 9[/m] ⇒

[m] - \frac{1}{\sqrt[4]{3}} ≤ x≤ \frac{1}{\sqrt[4]{3}} [/m] или[m] -9 <x ≤ 3[/m] [i]или[/i] [m] 3 ≤x < 9[/m] ⇒


[m]x ∈ [-\frac{1}{\sqrt[4]{3}};\frac{1}{\sqrt[4]{3}}]; [/m] с учетом ОДЗ: х ≠ 0 ⇒[b] [m]x ∈ [-\frac{1}{\sqrt[4]{3}};0) \cup (0;\frac{1}{\sqrt[4]{3}}];[/m][/b]

[m]x ∈ (-9;-3] \cup[3;9)[/m] учтено ОДЗ: x ≠ ± 9 ⇒[b] [m]x ∈ (-9;-3] \cup[3;9)[/m][/b]

Объединяем ответы
О т в е т:[red][m](-9;-3] \cup[-\frac{1}{\sqrt[4]{3}};0) \cup (0;\frac{1}{\sqrt[4]{3}}]\cup[3;9)[/m]
[/red]