Задача 60449 ...
Условие
Решение
ОДЗ:
[m]\left\{\begin {matrix}x-1>0\\ x-1 ≠1 \\\frac{5x-7}{2} >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}x>1\\ x ≠2 \\5x-7 >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x>1\\ x ≠2 \\x >1,4\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [b]x ∈ (1,4;2) U(2;+ ∞ )[/b]
так как [m]1=log_{x-1}(x-1)[/m] неравенство примет вид:
[m]log_{x-1}\sqrt{\frac{5x-7}{2}} ≥ log_{x-1}(x-1)[/m]
Решаем неравенство на ОДЗ
1)
При [b]x ∈ [1,4;2) [/b] логарифмическая функция убывает, поэтому
[m]\sqrt{\frac{5x-7}{2}} ≤ (x-1)[/m]
При [b]x ∈ [1,4;2) [/b]
(x-1) >0
возводим обе части неравенства в квадрат:
[m]\frac{5x-7}{2} ≤ (x-1)^2[/m] ⇒ [m]2x^2-9x+9 ≥ 0[/m]
D=9^2-4*2*9=9
корни: 1,5 и 3
__+__ [1,5] ____ [3] ___+__
С учетом [b]x ∈ (1,4;2) [/b] о т в е т (1,4;1,5]
2)
При [b]x ∈ (2;+ ∞ )[/b] логарифмическая функция возрастает, поэтому
[m]\sqrt{\frac{5x-7}{2}} ≥(x-1)[/m]
При [b]x ∈ (2;+ ∞ )[/b]
(x-1) >0
возводим обе части неравенства в квадрат:
[m]\frac{5x-7}{2} ≥ (x-1)^2[/m] ⇒ [m]2x^2-9x+9 ≤ 0[/m]
D=9^2-4*2*9=9
корни: 1,5 и 3
___ [1,5] __-__ [3] _____
С учетом [b]x ∈ (2;+ ∞ )[/b] о т в е т (2;3]
Объединяем ответы 1) и 2)
О т в е т. [red][b](1,4;1,5]U(2;3][/b][/red]