Задача 60447 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x+1>0\\x+1 ≠ 1\\x+4 ≥ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒x ∈ (-1;0) U(0;+ ∞ )
[m] log_{x+1} (\sqrt{x+4}+\frac{3}{4}) ≤ 1[/m]
[m] log_{x+1} (\sqrt{x+4}+\frac{3}{4}) ≤ log_{x+1}(x+1)[/m]
1)
Если x+1 > 1 ⇒ x >0 , логарифмическая функция возрастает
поэтому
[m] \sqrt{x+4}+\frac{3}{4} ≤x+1[/m] ⇒ [m] \sqrt{x+4}≤x+\frac{1}{4}[/m]
при x > 0
[m] x+\frac{1}{4}>0[/m]
Возводим в квадрат
[m] x+4≤(x+\frac{1}{4})^2[/m]
[m]x^2-\frac{1}{2}x-\frac{63}{16} ≥0 [/m]
D=[m](-\frac{1}{2})^2-4\cdot( -\frac{63}{16})=\frac{1}{4}+\frac{63}{4}=16[/m]
корни: -1,75 и 2,25
x ≤ -1,75 или x ≥ 2,25
С учетом x >0 получаем ответ 1)x ≥ 2,25
2)
Если 0 < x+1 < 1 ⇒ -1 <x <0 , логарифмическая функция убывает
поэтому
[m] \sqrt{x+4}+\frac{3}{4} ≥ x+1[/m] ⇒ [m] \sqrt{x+4} ≥ x+\frac{1}{4}[/m]
при [m] x+\frac{1}{4}<0[/m] неравенство верно при любых ⇒[b][m]-1 <x<- \frac{1}{4}[/m][/b]
при [m] x+\frac{1}{4} ≥ 0[/m] ⇒ [m] -\frac{1}{4} ≤x <0 [/m]
Возводим в квадрат
[m] x+4 ≥ (x+\frac{1}{4})^2[/m]
[m]x^2-\frac{1}{2}x-\frac{63}{16} ≤ 0 [/m] ⇒ [m]-1,75 ≤ x ≤ 2,25[/m]
с учетом [m] -\frac{1}{4} ≤x <0 [/m]
получаем ответ 2) -1 <x <0
Объединяем ответы
[red][b](-1;0)U[2,25;+ ∞ )[/b][/red]