Задача 60446 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x+5}{x+1}>0\\\frac{x+5}{x+1} ≠ 1\\x+25 >0\end {matrix}\right.[/m] ⇒x ∈ (-25;-5) U(-1;+ ∞ )
[m]log_{\frac{x+5}{x+1}}(x+25) ≤ 2[/m]
[m]log_{\frac{x+5}{x+1}}(x+25) ≤ 2log_{\frac{x+5}{x+1}}\frac{x+5}{x+1}[/m]
[m]log_{\frac{x+5}{x+1}}(x+25) ≤ log_{\frac{x+5}{x+1}}(\frac{x+5}{x+1})^2[/m]
1)
Если основание логарифмической функции [m]\frac{x+5}{x+1}>1[/m], то она возрастает, поэтому:
[m](x+25) ≤(\frac{x+5}{x+1})^2[/m]
[m]\frac{x+5}{x+1}>1[/m] ⇒ [m]\frac{x+5}{x+1}-1>0[/m] ⇒ [m]\frac{x+5-x-1}{x+1}>0[/m] ⇒ [m]\frac{4}{x+1}>0[/m] ⇒ [m]x+1>0[/m] ⇒
[b][m]x>-1[/m][/b]
[m](x+25) ≤(\frac{x+5}{x+1})^2[/m] ⇒ [m]\frac{x^2+10x+25}{x^2+2x+1}-x-25 ≥ 0[/m]
[m]\frac{x^2+10x+25-x^3-2x^2-x-25x^2-50x-25}{x^2+2x+1} ≥ 0[/m]⇒ [m]\frac{-x^3-26x^2-41x}{x^2+2x+1} ≥ 0[/m] ⇒
[m]-x^3-26x^2-41x ≥ 0[/m]
[m]x^3+26x^2+41x ≤ 0[/m]
[m]x\cdot (x^2+26x+41) ≤ 0[/m]
D=26^2-4*41=676-164=512=2*256
sqrt(D)=16sqrt(2)
корни квадратного трехчлена: -13 ± 8sqrt(2)
x ∈ (- ∞ ; -13 - 8sqrt(2)] U [ -13 + 8sqrt(2);0]
C учетом [b][m]x>-1[/m][/b]
ответ 1)[b] (-1;0}[/b]
2)
Если основание логарифмической функции [m]0 <\frac{x+5}{x+1}<1[/m], то она убывает, поэтому:
[m](x+25) ≥ (\frac{x+5}{x+1})^2[/m]
[m]0 <\frac{x+5}{x+1}<1[/m] ⇒
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x+5}{x+1}>0\\\frac{x+5}{x+1} < 1\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [b] x < -5[/b]
[m](x+25) ≥ (\frac{x+5}{x+1})^2[/m] ⇒ [m]\frac{x^2+10x+25}{x^2+2x+1}-x-25 ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2+10x+25-x^3-2x^2-x-25x^2-50x-25}{x^2+2x+1} ≤ 0[/m] ⇒[m] \frac{-x^3-26x^2-41x}{x^2+2x+1} ≤ 0[/m] ⇒
[m]-x^3-26x^2-41x ≤ 0[/m]
[m]x^3+26x^2+41x ≥ 0[/m]
[m]x\cdot (x^2+26x+41) ≥ 0[/m]
sqrt(D)=16sqrt(2)
корни квадратного трехчлена: -13 ± 8sqrt(2)
x ∈ [-13 - 8sqrt(2); -13 + 8sqrt(2)]U[0;+ ∞ )
c учетом [b] x < -5[/b] и x ∈ (-25;-5)
ответ 2)[b] [-13 - 8sqrt(2); -5)[/b]
Объединяем ответы:[b] [-13 - 8sqrt(2); -5)[/b] U[b] (-1;0][/b]