Задача 60445 ...
Условие
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10}>0\\\frac{x^2-2x}{x+10}>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10}>log_{4}1\\\frac{x^2-2x}{x+10}>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
Логарифмическая функция с основанием 4 - возрастающая:
[m]\left\{\begin {matrix}\frac{x^2-2x}{x+10}>1\\\frac{x^2-2x}{x+10}>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m]\frac{x^2-2x}{x+10}>1[/m]
[m]\frac{x^2-2x}{x+10}-1>0[/m]
[m]\frac{x^2-2x-x-10}{x+10}>0[/m]
[m]\frac{x^2-3x-10}{x+10}>0[/m]
D=(-3)^2+40=49=7^2
корни: -2 и 5
[m]\frac{(x-5)(x+2)}{x+10}>0[/m]
_____ (-10) ___+__ (-2) _____ (5) __+__
[b]ОДЗ: x ∈ (-10;-2)U(5;+ ∞ )[/b]
[m]log_{\frac{1}{2}}log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10} ≥ 0[/m]
[m]log_{\frac{1}{2}}log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10} ≥log_{\frac{1}{2}}1[/m]
Логарифмическая функция с основанием (1/2) -убывающая:
[m]log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10} ≤ 1[/m]
[m]log_{4}\frac{x^2-2x}{x+10} ≤ log_{4}4[/m]
Логарифмическая функция с основанием 4 - возрастающая:
[m]\frac{x^2-2x}{x+10} ≤ 4[/m]
[m]\frac{x^2-2x}{x+10}-4 ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2-2x-4x-40}{x+10} ≤ 0[/m]
[m]\frac{x^2-6x-40}{x+10} ≤ 0[/m]
D=(-6)^2-4*(-40)=36+160=196=14^2
корни: -4 и 10
[m]\frac{(x+4)(x-10)}{x+10} ≤ 0[/m]
__-___ (-10) _____ [-4] ___-____ [10] ____
C учетом ОДЗ получаем ответ
[b][-4;-2) U(5;10][/b]