Задача 60372 Найти интеграл ...
Условие
математика ВУЗ
306
Решение
★
Применяем [i]подстановкy:[/i]
[m]tg\frac{x}{2}=t[/m] ⇒ [m]\frac{x}{2}=arctgt[/m] ⇒ [m]x=2arctgt[/m]
[m]dx=\frac{2}{1+t^2}[/m]
[m]sinx=\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}} [/m] ( см. скриншот)
Тогда
[m] ∫ \frac{dx}{3+2 sinx}= ∫\frac{\frac{2}{1+t^2}}{3+2\cdot \frac{2t}{1+t^2}}dt= ∫\frac{2}{3+3t^2+6t} dt= \frac{2}{3}∫\frac{dt}{(1+t)^2} = \frac{2}{3}\cdot (-\frac{1}{1+t})+C=\frac{2}{3(1+tg\frac{x}{2}} +C[/m]