Задача 60126 Решите уравнение y``–6y`+18y = 10e^(2x)...
Условие
Решение
Решаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
y``-6y`+18y=0
Составляем характеристическое уравнение:
k^2-6k+18=0
D=36-4*18=-36
k_(1)=(6-6i)/2=3-3i; k_(2)=(6+6i)/2=3+3i - корни комплексно-сопряженные вида α ± β *i
α =3
β =3
Общее решение имеет вид:
y_(общее одн.)=e^( αx)*( C_(1)*cos( β x)+C_(2)*sin( β x)
В данной задаче
y_(общее одн.)=e^( 3x)*( C_(1)*cos(3 x)+C_(2)*sin( 3 x)
Правая часть неоднородного имеет специальный вид:
f(x)=10e^(2x)
поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет вид:
y=A*e^(2x)
Находим
y`
y``
Подставляем в данное уравнение, находим коэффициент А