Задача 60124 ...

60b8cbbea1c50e1d3043a673

04.06.2021 10:29:30

Знайти похідні ∂z/∂u та ∂z/∂v складеної функції z = xe^y, x = u ln v, y = u^2 + v

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.06.2021 12:02:18

★

[m]\frac{ ∂z }{ ∂u}=\frac{ ∂z }{ ∂x}\cdot \frac{ ∂x }{ ∂u}+\frac{ ∂z }{ ∂y}\cdot \frac{ ∂y }{ ∂u}[/m]

[m]\frac{ ∂z }{ ∂v}=\frac{ ∂z }{ ∂x}\cdot \frac{ ∂x }{ ∂v}+\frac{ ∂z }{ ∂y}\cdot \frac{ ∂y }{ ∂v}[/m]


Находим:
производная по переменной х, при этом y - постоянная
[m]\frac{ ∂z }{ ∂x}=(x\cdot e^{y})`_{x}=e^{y}[/m]

производная по переменной y, при этом x - постоянная
[m]\frac{ ∂z }{ ∂y}=(x\cdot e^{y})`_{y}=x\cdot e^{y}[/m]

производная по переменной u, при этом v - постоянная

[m] \frac{ ∂x }{ ∂u}=(u\cdot lnv)`_{u}=lnv[/m]
[m] \frac{ ∂y }{ ∂u}=(u^2+v)`_{u}=2u[/m]

производная по переменной v, при этом u - постоянная
[m] \frac{ ∂x }{ ∂v}=(u\cdot lnv)`_{u}=u\cdot \frac{1}{v}[/m]
[m] \frac{ ∂y }{ ∂v}=(u^2+v)`_{v}=1[/m]


Подставляем в первые две строчки.