Задача 60069 Найти общий интеграл дифф уравнения...

60b60391a1c50e1d3043922e

01.06.2021 22:18:25

Найти общий интеграл дифф уравнения y'+2sqrt(y/x) = y/x

5f3ea7e3faf909182968ddd9

04.06.2021 13:27:28

★

Однородное первого порядка.

Замена

[m]\frac{y}{x}=u[/m]


[m]y=x\cdot u[/m]

[m]y`=x`\cdot u+x\cdot u`[/m]

x`=1

Уравнение:

[m]1 \cdot u+x\cdot u`+2\sqrt{u}=u[/m] ⇒ [m]x\cdot u`+2\sqrt{u}=0[/m] - уравнение с разделяющимися переменными

[m]u`=\frac{du}{dx}[/m]

[m]x\cdot du=-2\sqrt{u}dx[/m]

[m]\frac{du}{2\sqrt{u}}=-\frac{dx}{x}[/m]

Интегрируем:

[m] ∫ \frac{du}{2\sqrt{u}}=- ∫ \frac{dx}{x}[/m]

[m]\sqrt{u}=-ln|x|+lnC[/m] ⇒


[m]\sqrt{u}=ln\frac{C}{|x|}[/m]


[m]\sqrt{\frac{y}{x}}=ln\frac{C}{|x|}[/m]

О т в е т. е)