Задача 59988 Найти dz и d^2z, если x/z = ln(z/y)+1...
Условие
Решение
Представим в виде F(x;y;z)=0
[m]ln\frac{z}{y}+1-\frac{x}{z}=0[/m] ⇒ [m] F(x;y;z)=ln\frac{z}{y}+1-\frac{x}{z}[/m]
1)
Находим
[m]F`_{x}=(ln\frac{z}{y}+1-\frac{x}{z})`_{x}=-\frac{1}{z}[/m] при этом y и z - постоянные
[m]F`_{y}=(ln\frac{z}{y}+1-\frac{x}{z})`_{y}=-\frac{z}{y^2}[/m] при этом x и z - постоянные
[m]F`_{z}=(ln\frac{z}{y}+1-\frac{x}{z})`_{z}=\frac{1}{z}+\frac{x}{z^2}[/m] при этом x и y - постоянные
Тогда
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂x}=-\frac{F`_{x}}{F`_{z}}=-\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+\frac{x}{z^2}}=-\frac{z}{z+x}[/m]; F`_(z) ≠ 0
[m]\frac{ ∂ z}{ ∂y}=-\frac{F`_{y}}{F`_{z}}=-\frac{\frac{z}{y^2}}{\frac{1}{z}+\frac{x}{z^2}}=-\frac{z^3}{y^2(z+x)}[/m]; F`_(z) ≠ 0.
[m]dz=\frac{ ∂ z}{ ∂x} dx+\frac{ ∂ z}{ ∂y}dy[/m]
[m]dz=-\frac{z}{z+x}dx - \frac{z^3}{y^2(z+x)}dy[/m] - о т в е т.
2)
Находим:
[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂x^2}=(-\frac{z}{z+x})`_{x}=...[/m]
[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂x ∂y}=(-\frac{z}{z+x})`_{y}=...[/m]
[m]\frac{ ∂^2z}{ ∂y^2}=(-\frac{z^3}{y^2(z+x)})`_{y}=...[/m];
Тогда
