Задача 59900 Найти общий интеграл дифференциального...
Условие
математика ВУЗ
448
Решение
★
P(x;y)=3x^2+2y
Q(x;y)=2x-3
Так как
∂ P/ ∂ y=(3x^2+2y)`_(y)=2
∂ Q/ ∂ x=(2x-3)`_(x)=2
и ∂ P/ ∂ y = ∂ Q/ ∂ x,
то это [b]уравнение в полных дифференциалах.[/b]
Значит, u(x;y)=C - решение дифференциального уравнения.
Функция u может быть найдена из условий:
∂ u/ ∂ x=P(x;y)
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
∂ u/ ∂ x=P(x;y) ⇒ [b]u(x;y)[/b]= ∫ P(x;y) dx= ∫ (3x^2+2y)dx=3*(x^3/3)+2yx+ [b]φ (y)[/b]=
=x^3+2xy+ [b]φ (y)[/b]
Находим производную:
∂ u/ ∂ y=(x^3+2xy+ [b]φ (y)[/b])`_(y)=2x+ [b](φ (y)[/b])`_(y)
Так как
∂ u/ ∂ y=Q(x;y)
то
[b]φ` (y)[/b]=-3
Тогда
[b] φ (y)[/b]=-3y +C
О т в е т.
[b]u(x;y)=x^3+2xy-3y+C[/b]
